高考数学总复习《平面向量的数量积》专项测试卷及答案

高考数学总复习《平面向量的数量积》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点　1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．一　平面向量数量积的定义及几何意义1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，O是平面上任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b投影向量如图，＝a，＝b，则叫做向量a在向量b方向上的投影向量几何意义数量积a·b等于b与a在b方向上的投影向量的乘积二　向量数量积的运算律1．a·b＝b·a.2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.三　平面向量数量积的性质　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤常/用/结/论1．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.2．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3．两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)．4．两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．1．判断下列结论是否正确．(1)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()2．(2024·海南海口模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝2，b＝(－1，)，则a在b方向上的投影向量为(　　)A. B.C. D.解析：a在b方向上的投影向量为|a|cos θ·＝2×cos ×＝.故选C.答案：C3．(2024·山东济宁阶段考试)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，A与A的夹角为60°，则|M|＝________.解析：因为M为BC的中点，所以A＝(A＋A)，所以|M|2＝(A＋A)2＝(|A|2＋|A|2＋2A·A)＝×(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，所以|M|＝.答案：4．(2024·北京模拟)已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________．解析：设a，b的夹角为θ，依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3×cos θ－2×32＝0，则cos θ＝－.答案：－题型　平面向量数量积的概念及运算典例1(1)已知a＝(1,2)，b为单位向量，若a·b＋|a|·|b|≤0，则b＝(　　)A. B.C. D.(2)已知点A，B，C满足|A|＝3，|B|＝4，|C|＝5，则A·B＋B·C＋C·A　　　　　注意各向量的夹角并非三角形的内角．的值是________．解析：(1)由a·b＋|a|·|b|≤0，可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|a|·|b|≤0，得cos〈a，b〉＋1≤0，　　　　　从两向量的夹角作为切入点，代入条件方程．得cos〈a，b〉≤－1，又cos〈a，b〉≥－1，所以cos〈a，b〉＝－1，得〈a，b〉＝180°，可知a与b共线且反向．可以由此直接得到b ＝－.方法一：不妨设b＝(x，y)，因为b为单位向量，　　　　　题眼．　　　所以|b|＝1.由得或　当b＝时，a＝b，a与b共线且同向，不合题意；当b＝时，a＝－b，a与b共线且反向，符合题意．方法二：b＝－＝－(1,2)＝，与a共线的单位向量可表示为±，“”表示与a同向的单位向量，“ －”表示与a反向的单位向量．故选D.(2)方法一：如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，∴A·B＋B·C＋C·A＝B·C＋C·A＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cos C－150cos A＝－20×－15×＝－25.方法二：如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．坐标法省脑筋，专注运算即可．∴A＝(－3,0)，B＝(0,4)，C＝(3，－4)．∴A·B＝－3×0＋0×4＝0，B·C＝0×3＋4×(－4)＝－16，C·A＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴A·B＋B·C＋C·A＝－25.方法三：由题可知AB⊥BC，∴A·B＋B·C＋C·A＝0＋C·(B＋A)＝C·A＝－A2＝－25.　　　　　　向量的合成．方法四：由题可知AB⊥BC，A＋B＋C＝0，将其两边平方可得A2＋B2＋C2＋2(A·B＋A·C＋B·C)＝0，故　　　　　　　　这个思路很清晰，简捷．A·B＋A·C＋B·C＝－(A2＋B2＋C2)＝－25.故答案为－25.求向量a，b的数量积的三种方法(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，则建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解. 　　　对点练1(1)(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则E·E＝(　　)A. B．3 C．2 D．5(2)(2023·全国乙卷，理)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点．若|PO|＝，则P·P的最大值为(　　)A. B.C．1＋ D．2＋解析：(1)在正方形ABCD中，E为AB的中点，且AB＝2，所以E·E＝(E＋B)·(E＋A)＝(E＋B)·(B－E)＝|B|2－|E|2＝4－1＝3，故选B.(2)如图所示，|OA|＝1，|OP|＝，则由题意可知∠APO＝45°，由勾股定理可得PA＝＝1.当点A，D位于直线PO的异侧时，设∠OPC＝α，0≤α≤，则||＝cos α，则·＝||·||cos＝1×cos αcos＝cos α＝cos2α－sin αcos α＝－sin 2α＝－sin，∵0≤α≤，则－≤2α－≤，∴当2α－＝－时，·有最大值1；当点A，D位于直线PO的同侧时，设∠OPC＝α，0≤α≤，则||＝cos α，则·＝||·||cos＝1×cos αcos＝cos α＝cos2α＋sin αcos α＝＋sin 2α＝＋sin，∵0≤α≤，则≤2α＋≤π，∴当2α＋＝时，·有最大值.综上可得，·的最大值为.故选A.答案：(1)B　(2)A题型　投影向量的概念及运用典例2已知向量b在单位向量a上的投影向量为－4a，则(a＋b)·a＝(　　)严格投影向量的概念，可计算得a·b的值．A．－3 B．－1 C．3 D．5解析：∵向量b在单位向量a上的投影向量为－4a，∴·＝－4a，∴a·b＝－4，题眼：要记住投影向量公式．∴(a＋b)·a＝1－4＝－3.故选A.投影向量的求法方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos〈a，b〉·.前面|a|·cosa，b是a在b上的投影的值，后面为与b同向的单位向量. 　　　 对点练2(2023·湖南部分名校联盟5月冲刺)在△ABC中，已知AC＝3，向量A在向量A上的投影向量为，点D是BC边上靠近C的三等分点，则A·A＝(　　)A．3 B．6 C．7 D．9解析：作出图形如图，选A，A作为一组基底，根据投影向量的计算公式，可知向量A在向量A上的投影向量为·，由题意知·＝，于是＝1，即A·A＝3.又A＝A＋B＝A＋B＝A＋(A－A)＝A＋A，所以A·A＝·A＝A·A＋A·A＝×3＋×9＝7.故选C.答案：C题型　数量积应用的多维研讨维度1　解决两向量垂直问题典例3(2020·全国Ⅱ卷，文)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)最直接的笨方法，计算各选项与b的数量积．A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－b解析：方法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.方法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b　　　　　由于a，b＝60 °，才设出a＝，各选项都有坐标，与b垂直的向量，它的横坐标为0，只盯着这一项指标就可以作出判断．＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b.方法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示，　A　　　　 　　　　　B　C　　　　 　　　　　D发挥图形运算的优点，从另一视角审视各个选项．由图易知，只有D满足题意．故选D.两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.几何解释：对角线相等的平行四边形为矩形. 　　　对点练3(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1解析：由于a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a＋λb＝(1,1)＋(λ，－λ)＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1,1)＋μ(1，－1)＝(1＋μ，1－μ)．又∵(a＋λb)⊥(a＋μb)，∴(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，解得λμ＝－1，故选D.答案：D维度2　探究向量模的问题典例4已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|和|a－3b|.遇模想平方，向量模的计算可通过平方，转化为数量积的运算．解：方法一：因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos θ＝6×4×＝12，所以(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108.所以|a＋b|。