＋艺考生高考数学专题讲义考点一 集合的概念与运算 知识梳理1．集合与元素(1) 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法．(4)常见数集的记法集合符号自然数集N正整数集 N (或 N )整数集Z有理数集Q实数集R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、 数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“ ”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系子集真子集集合相等自然语言集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 x∈A，则 x∈B)集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少 有一个元素不在集合 A 中集合 A，B 中元素完全相同或集合 A，B 互 为子集符号语言A⊆B (或 B⊇A)A B (或 B A)A＝BVenn 图子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3.全集与补集(1) 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ， 全集通常用字母 U 表示；(1) 对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全 集 U 的补集，记作∁ A，即∁ A＝{x|x∈U，且 x∉A}．U U4.集合的运算集合的并集集合的交集高中数学集合的补集nn图形符号艺考生高考数学专题讲义A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}∁ A＝{x|x∈U，且 x∉A} U5.集合关系与运算的常用结论(1) 子集个数公式：若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 2 －1 个，真子集有 2 －1 个．(1) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3) (∁ A)∩(∁ B)＝∁ (A∪B)，(∁ A)∪(∁ B)＝∁ (A∩B) ．U U U U U U典例剖析个，非空子集个数为 2n题型一 集合的基本概念例 1 已知集合 A＝{0，1，2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 答案 5解析 列表根据集合中元素的互异性知，B 中元素有 0，－1，－2，1，2，共 5 个．变式训练 已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合 B 中有________ 个元素．答案 6解析 因为 x－y∈A，∴x≥y．当 x＝0 时，y＝0；当 x＝1 时，y＝0 或 y＝1；当 x＝2 时，y＝0，1，2.故集合 B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合 B 中有 6 个元素．解题要点 研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元 素是数 x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助 表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．高中数学0， ，ba0， ，ba2223艺考生高考数学专题讲义ì b ü例 2 设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝í ý，则 b－a＝________.î þ答案 2ì b ü解析 因为{1，a＋b，a}＝í ý，且由 a 在分母的位置可知 a≠0，î þb所以 a＋b＝0，则 ＝－1，a所以 a＝－1，b＝1.所以 b－a＝2.变式训练 已知集合 A＝{m＋2,2m ＋m}，若 3∈A，则 m 的值为________． 3答案 －2解析 因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m ＋m＝3.当 m＋2＝3，即 m＝1 时，2m ＋m＝3，此时集合 A 中有重复元素 3，所以 m＝1 不符合题意，舍去；当 2m23＋m＝3 时，解得 m＝－ 或 m＝1(舍去)，23 1此时当 m＝－ 时，m＋2＝ ≠3 符合题意，2 23所以 m＝－ .2解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性． 题型二 集合间的基本关系例 3 集合 A={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素 0 的子集共有个答案 4解析 根据题意，在集合 A 的子集中，含有元素 0 的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练 设 M 为非空的数集，M {1,2,3}，且 M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合 M 共有个答案 6解析 集合{1,2,3}的所有子集共有 2 ＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅ 和{2}，故满足要求的集合 M 共有 8－2＝6(个)．解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷 举法列出所有满足条件的集合．例 4 设 ，若高中数学，则 a 的取值范围是 ．22艺考生高考数学专题讲义答案解析 根据题意作图：由图可知， ，则只要即可，即 a 的取值范围是 ．变式训练 已知集合A ={x | x2-5 x +4 £0}, B =(-¥,a),AÍB，则 a 的取值范围是 ．答案解析( 4 +,¥ ) A ={ x | x2-5 x+4 £ 0}[=]1,，4∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即 a 的取值范围 (4, +¥).解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解 题时应注意端点是否可以取到.题型三 集合的基本运算例 5 已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合 A∪B 中元素的个数为________． 答案 5解析 A∪B＝{1,2,3,4,5}，共有 5 个元素.变式训练 已知集合 A＝{x|x －x－2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B 等于________． 答案 {－1,0,1,2}解析 A＝{x|x －x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，B 为整数集，A∩B＝{－1,0,1,2}.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时 相同的元素只算一个．例 6 已知全集 U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 (A∪B) ＝________．U答案 {x|04}，则 M∪N 等于________． 答案 {x|x<－5 或 x>－3}解析 在数轴上表示集合 M 和 N，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是 M∪N＝{x|x<－5 或 x>－3}． 4．若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0}中只有一个元素,则 a=________．答案 4解析 a＝0 时，ax +ax+1=0 无解，此时，A= Æ ，不合题意；ìïΔ＝a－4a＝0a≠0 时，由题意得方程 ax ＋ax＋1＝0 有两个相等实根，则íïîa≠。