第十一章第十一章第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、对坐标的曲面积分的概念与二、对坐标的曲面积分的概念与 性质性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分(15) 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影双侧曲面曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧对坐标的曲面积分(15) 一般曲面都是两侧，您见过只有一侧的曲面吗？一般曲面都是两侧，您见过只有一侧的曲面吗？ 对坐标的曲面积分(15) 对坐标的曲面积分(15) 所所有有人人都都沿沿着着曲曲面面的的同同一一侧侧行行走走 对坐标的曲面积分(15) 其方向用法向量指向方向余弦> 0 为前侧< 0 为后侧封闭曲面> 0 为右侧< 0 为左侧 > 0 为上侧< 0 为下侧外侧内侧v 设 为有向曲面,侧的规定v 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定对坐标的曲面积分(15) 对坐标的曲面积分(15) 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . 分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: 对坐标的曲面积分(15) 对一般的有向曲面 ,用“分割，近似，求和，取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得, 则 对坐标的曲面积分(15) 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 2. 定义：定义：对坐标的曲面积分(15) 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;对坐标的曲面积分(15) 3. 3. 性质性质(1) 若之间无公共内点, 则(2) 用 ¯ 表示 的反向曲面, 则对坐标的曲面积分(15) 定理定理: 设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则若取下侧三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法 对坐标的曲面积分(15) 例例1. 1. 计算其中 是半球面的上侧.解解: 原式 对坐标的曲面积分(15) 解解: 原式 其中 是球面 的上侧. 上侧 上侧 把 分为上下两部分思考：思考：如果 是整个球面的外侧呢？ 例例2. 计算 对坐标的曲面积分(15) v 若则有v 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明:分面投影法 对坐标的曲面积分(15) 整个表面的外侧解解: 其中 是整个曲面分成六个平面 的上侧 的下侧 的前侧 的后侧 的右侧 的左侧 先求 例例3. 计算 同理 对坐标的曲面积分(15) 解解:其中 为球面外侧在第一和第五卦限部分. 上侧下侧把 分为上下两部分例例4. 计算曲面积分 对坐标的曲面积分(15) 对坐标的曲面积分(15) 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系取上侧取前侧取右侧对坐标的曲面积分(15) 另一方面，曲面在一点处法向量或取上侧取下侧对坐标的曲面积分(15) 所以通理归一投影法 对坐标的曲面积分(15) 其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有∴ 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 原式 =例例5. 计算曲面积分 及 z = 2 之间部分的下侧. 对坐标的曲面积分(15) 对坐标的曲面积分(15) 内容小结内容小结定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系v v 对坐标的曲面积分(15) 性质性质: :联系联系:对坐标的曲面积分(15) 2. 2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化对坐标的曲面积分(15) 当时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .对坐标的曲面积分(15) 思考与练习思考与练习1. P167 题2提示提示: 设则 取上侧时, 取下侧时,对坐标的曲面积分(15) 是平面在第四卦限部分的上侧 , 计算提示提示: 求出 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分2. P167 2. P167 题题3 3(3)(3) 设对坐标的曲面积分(15) 备用题备用题 求求取外侧 .解解:注意±号其中对坐标的曲面积分(15) 利用轮换对称性对坐标的曲面积分(15) 对坐标的曲面积分(15) 。