第23章 解直角三角形23．1.1 第1课时 正切知识点 1 正切1．如图23－1－1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，那么tan C等于( )A. B. C. D. 图23－1－12．如图23－1－2，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，那么tanC等于( )A．2 B. C. D. 图23－1－23．在Rt△ABC中，假设各边长都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正切值( )A．扩大为原来的4倍 B．不变C．缩小为原来的 D．以上都不对4．如图23－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，那么BC的长是( )A．2 B．8 C．2 D．4 图23－1－35．［2022·白银、张掖］如图23－1－4，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，那么t的值是________． 图23－1－46.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，假设a＝12，b＝16，c＝20，那么tanA＝________.7.如图23－1－5，A，B，C三点均在格点上，那么tan A的值为________．图23－1－58．［教材练习第2题变式］如图23－1－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，tan A＝，求AC，BC和tan B的值．图23－1－6知识点 2 坡角与坡度(坡比)9．如图23－1－7，梯形护坡石坝的斜坡AB长8 m，坡高BC为4 m，水平距离AC＝4 m，那么斜坡AB的坡度是( )A．30° B．1∶ C．1∶2 D．1∶图23－1－710.为测量如图23－1－8所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据，那么该坡道倾斜角α的正切值是( )A. B. C. D. 图23－1－811．如图23－1－9，将两根木棒AB(长10 m)，CD(长6 m)分别斜靠在墙上，其中BE＝6 m，DE＝2 m，你能判断哪根木棒更陡吗？请说明理由．图23－1－912．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，CD＝2，BD＝8，那么tanA的值是( )A．2 B．4 C. D. 13．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，那么 tanC等于( )A. B. C. D. 14．如图23－1－10所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.假设AC＝3，BD＝6，CD＝12，那么tanα的值为( )A. B. C. D. 图23－1－1015．［2022·芜湖二模］如图23－1－11，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，假设EF＝2，BC＝5，CD＝3，那么tan C等于( )A. B. C. D. 图23－1－1116．如图23－1－12所示，在4×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，那么tan∠BAC的值为( )A . B．1 C. D. 图23－1－1217．如图23－1－13，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.假设∠BPC＝∠BAC，那么tan∠BPC＝________． 图23－1－1318．在平面直角坐标系中，点A(2，1)和点B(3，0)，那么tan∠AOB＝________，tan∠ABO＝________．19．如图23－1－14，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，DE＝CE，连接BE，那么tan∠EBC＝________．图23－1－1420．如图23－1－15，l1，l2，l3，l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，四边形ABCD为正方形，那么tanα＝________． 图23－1－1521．如图23－1－16，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．菱形的一个角(∠O)为60°，点A，B，C都在格点上，那么tan∠ABC的值是________．图23－1－1622．如图23－1－17，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，那么tan∠DBC＝________．图23－1－171．D [解析] tanC＝＝.应选D.2．B3．B [解析] 设在原Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边分别为a，b，那么各边长都扩大为原来的4倍后，∠A的对边与邻边分别为4a，4b，此时tanA＝＝.4．A [解析] ∵tanA＝＝，AC＝4，∴BC＝2.5. [解析] 过点A作AB⊥x轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴AB＝t，OB＝3.又∵tanα＝＝＝，∴t＝.6. [解析] 三角形的三边，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是以∠C为直角的直角三角形，故tanA＝＝＝.7. [解析] 如图，连接BC.设网格中各小正方形的长为1，那么BC＝＝，AC＝＝2 ，AB＝＝5.∵BC2＋AC2＝AB2，∴∠BCA＝90°.∴tanA＝＝＝.故答案为.8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝＝.∴可设BC＝3k，那么AC＝4k.由勾股定理，得(3k)2＋(4k)2＝152，解得k＝3(负值已舍去)．∴AC＝12，BC＝9，tanB＝＝＝.9．B [解析] 坡度又叫坡比，指铅直高度与水平距离的比，故斜坡AB的坡度为＝.10．A11．[解析] 描述木棒的陡缓，即木棒的倾斜程度，通常用正切比拟，正切值越大，木棒越陡．此题先借助勾股定理求出AE，CE的长，从而求出tanB，tanD的值，然后比拟．解：木棒CD更陡．理由：由题可知AE＝＝8(m)，CE＝＝4 (m)，∴tanB＝＝＝，tanD＝＝＝2 .∵2 ＞，∴tanD＞tanB，即木棒CD更陡．12． B[解析] 依题意，得∠A＝∠BCD.因为tan∠BCD＝＝4，所以tanA＝4.应选B.13． A[解析] 作出BC边上的高AD，交BC于点D，那么CD＝3，根据勾股定理，得AD＝4，∴tanC＝.14．A[解析] 由镜面反射，可知∠A＝∠B＝α，∠AEC＝∠BED，∴△AEC∽△BED.又∵AC＝3，BD＝6，CD＝12，∴＝＝，∴CE＝4，∴tanα＝.应选A.15． B[解析] 如图，连接BD.∵E，F分别是AB，AD的中点，∴BD＝2EF＝4.∵BC＝5，CD＝3，∴△BCD是直角三角形，∴tanC＝＝.应选B.16． A[解析] 找到∠BAC所在的直角三角形，进而求得∠BAC的对边与邻边之比即可．如图，连接BD，由勾股定理及逆定理可得△ABD为直角三角形，两条直角边长分别为，2 ，∴tan∠BAC＝＝.应选A.17． 18． 1[解析] 如图，过点A作AC⊥x轴于点C，利用点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(3，0)，可得OC＝2，AC＝1，BC＝1，然后分别在两个直角三角形中求解．19． [解析] 如图，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F.设EF＝a，那么可得CF＝a，DC＝2a，BF＝3a，∴tan∠EBC＝＝＝.20． [解析] 如图，过点D作l1的垂线交l1于点E，交l4于点F.可证明△AED≌△DFC，∴AE＝DF，∴tanα＝＝＝.21． [解析] 要求tan∠ABC的值，必须有直角三角形．如图，延长BC到下一格点D处，连接AD，△BDA是直角三角形．因为∠O＝60°，小网格是菱形，所以∠ADE＝30°，∠BDE＝60°.在Rt△ADC中，＝，所以tan∠ABC＝＝＝.22. [解析] 如图，过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理，得AB＝13.∵BD∥AE，∴∠E＝∠CBD，∠EAB＝∠DBA，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠E＝∠EAB，∴BE＝AB.∵BD∥AE，∴＝，∴＝，即＝，解得CD＝.在Rt△CBD中，tan∠DBC＝＝＝. 。
