第七章 度量空间和线性赋范空间,7.4 柯西（Cauchy)点列和完备度量空间,教学目标： 1、掌握柯西点列及完备度量空间的定义； 2、会利用定义证明几类典型空间的完备性，培养知识 迁移能力； 3、掌握并不是所有度量空间都完备，并会证明空间的 不完备性．,教学重点：完备度量空间的定义，定理1.教学难点：定理1的应用，空间完备性的证明．,存在正整数 当 时有 则称是中的柯西点列.类似地可以定义度量空间中的柯西点列.,,首先回忆一下,中柯西点列的定义.设,是,中的点列，如果对任意给定的整数,定义1 设 是度量空间， 是 中的点列,如果对任何事先给定的整数 存在正整数 是当 时，必有 则称 是 中的柯西点列或基本点列.如果度量空间 中每个柯西点列都在 中收敛，那么称 是完备的度量空间. 注意：这里要求在 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点. 由度量空间的定义，立即可知有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但 维欧氏空间 则是完备的度量空间.在一般的度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列.实际上，如果 那么对任何正数存在 使当 时，有因此，当 时，由三点不等式，得到 即 是柯西点列.,例1 是完备度量空间. 证明 设 是 中的柯西点列，其中于是对于任意 存在正整数 当 时， (1)因此，对每一个固定的 当 时，成立 (2)这就是说，数列 是柯西点列，因此，存在数 使得令 下面证明 且 在(2)式中,令 我们得到，对一切 成立 (3)又因 因此存在实数 使得对所有 成立 因此，这就证明了 由(3)式，可知对一切 成立所以 因此 是完备度量空间.证毕.,,,令 表示所有收敛的实（或复）数列全体，对 中任意两点令易证 是一度量空间，实际上它是 的一个子空间. 定理1 完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. 证明 设M是完备子空间，对每个 存在M中的点列 ,使 由前述， 是M中柯西点列，所以在M中收敛，由极限的唯一性可知 ,即所以 因此M是闭子空间. 反之，如果 是M中柯西点列，因X是完备度量空间，所以存在 使由于M是X中闭子空间，所以 ,即 在M中收敛.这就证明了M是完备度量空间.证毕. 例2 是完备的度量空间. 证明 有定理1，只要证 是 中的闭子空间即可.对任何 存在 因此对任何正数 存在正整数 当 时，对所有自然数 成立特别取 那么对所有 有但因 即 当 时收敛，因此存在 使对当 时，有于是当 时，成立这说明 是柯西数列，因而收敛，即 所以 是 中的闭子空间.证毕.,,,,例3 是完备的度量空间. 设 是 中的柯西点列.于是对任何正数 存在正整数 使对一切 有 (4)因此对任何 有 这说明当 固定时， 是柯西数列，所以存在 使下面证明 是 上连续函数，且事实上，在（4）中令 那么可以得到当 时，成立 (5)这说明 在 上一致收敛于 ，由数学分析知， 是 上连续函数，因此 且由（5）知，当 时，即 这说明了 是完备度量空间.证毕. 下面举一个不完备空间的例子. 例4 设 表示闭空间 上连续函数全体，对任何 令那么 成为度量空间. 上面定义的度量空间 不完备. 证明 令,,,,那么， 是 中的柯西点列.事实上，对任何正数 当 时, 但对每一个 如果 必有但由于 在 上连续，所以 在 上恒为0，在 上恒为1，所以 这与 在 连续矛盾，因此 不完备.证毕.,。