高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666双曲线综合讲义——八种典例目录题型一、双曲线定义的实际应用 2题型二、给出一定条件求双曲线方程 5题型三、给出一定条件求双曲线离心率 9题型四、研究与双曲线的渐近线相关问题 15题型五、与双曲线有关的最值（范围）问题 19题型六、最值问题 21题型七、定点问题 23题型八、定值问题 30题型一 双曲线定义的实际应用【方法导引】 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．例1设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( )A．8 B．4C．8 D．4 【解析】 (1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4 ，|NF1|－|NF2|＝4 ，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8 .例2设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．【解析】∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，∴a＝1，∴|BF1|＝3，又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，∴∠F2AB＝90°，∴sin B＝，∴S△BF1F2＝×5×3×sin B＝×5×3×＝.例3已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．【解析】因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.例4【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则 （ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选A．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，又∵，∴．解法三：设，则，，，求的．例5【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则 （ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由条件可知点在以为焦点的双曲线的右支上，并且，∴，方程为 且点为函数上的点，联立方程 ，解得：，，，故选D．【素养提升】1.已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)C.－＝1 D.－＝1【解析】选A 如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x>2)．2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.【解析】由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，则cos∠F1PF2＝＝＝.【答案】题型二 给出一定条件求双曲线方程【方法导引】求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．【三年高考】1.【2020年高考天津卷7】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得，故选．2.【2018年高考浙江卷】双曲线的焦点坐标是（ ）A．(−，0)，(，0) B．(−2，0)，(2，0)C．(0，−)，(0，) D．(0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】设的焦点坐标为，因为，，所以焦点坐标为，故选B．3.【2018年高考天津卷理数】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为，故选C.4.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1【解析】选B 由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.5.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是( )A.－y2＝1 B.－y2＝1C.－＝1 D．x2－＝1【解析】选B 法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.【素养提升】1.经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.【答案】－＝12.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．【解析】设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.【答案】－＝13.过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．【解析】因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.【答案】－＝1题型三 给出一定条件求双曲线离心率【方法导引】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；1.(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．【解析】 法一：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，∵·＝0，∴F1B⊥F2B，∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由∵＝，∴点A为线段F1B的中点，∴A，将其代入y＝－x得＝×.解得c＝2a，故e＝＝2.法二：如图，由＝知A为线段F1B的中点，∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥F2B，∵·＝0，∴F1B⊥F2B，∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形，可知＝tan 60°＝，∴e＝＝ ＝2.法三：如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，∵＝，∴A为线段F1B的中点，又∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.过B作BH⊥OF2，垂足为H，则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，∵·＝0，∴BF1⊥BF2，又O为F1F2的中点，∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形．∴∠BOF2＝60°，则＝tan 60°＝，∴e＝＝＝2.【答案】 22..【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．【答案】2【解析】依题可得，，而，，即，变形得，化简可得，，解得或（舍去）．故答案为：．2.【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．【答案】【解析】由得渐近线方程为，又，则，，，得离心率．3. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，又OA与OB都是渐近线，∴又，∴又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．【素养提升】1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为（ ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，∴，，又点在圆上，，即，，故选A．2.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴，故选D.3.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.4.【2018年高考全国III理数】设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）A．。