第第7课时课时 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用其次单元 方程(组)与不等式(组)中考考点清单考点考点1：一元二次方程及其解法：一元二次方程及其解法考点考点2：一元二次方程根的判别式：一元二次方程根的判别式(高频高频)考点考点3：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系考点考点4：一元二次方程的：一元二次方程的实际应实际应用用一元一元二次二次方程方程及其及其应用应用1.一元二次方程一元二次方程一般形式：一般形式：ax2bxc=0(其中其中a，b，c为常数，为常数，a0)具备的三个条件：具备的三个条件：(1)必须是整式方程；必须是整式方程；(2)必须只含有必须只含有1个未知数；个未知数；(3)所含未知数的最高次数是所含未知数的最高次数是2.【温馨提示】【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意在一元二次方程的一般形式中要注意a0，由于当由于当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程时，不含有二次项，即不是一元二次方程一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法考点考点考点考点 1 1 1 1 2.一元二次方程的解法一元二次方程的解法解法解法适用情况适用情况方程的根方程的根直接开直接开平方法平方法 当方程缺少一次项时，即方程当方程缺少一次项时，即方程ax2 c=0(a0，ac0，代入对应的，代入对应的a、b、c即可求出即可求出m的取值范的取值范围围一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式类型类型类型类型 一一一一 解：解：原方程有两个不相等的实数根原方程有两个不相等的实数根，b2-4ac=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+50，解得解得m-；解：解：m=1，原方程为原方程为x2+3x=0，即即x(x+3)=0，解得解得x1=0，x2=-3.(m取其他值也可以取其他值也可以)(2)【思维教练思维教练】由由(1)知知m的取值范围，取一个满意此条的取值范围，取一个满意此条件的件的m的值，代入方程，求解即可的值，代入方程，求解即可 拓展拓展1(2016张家界张家界)若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x22xk=0无实数根，则实数无实数根，则实数k的取值范围是的取值范围是_k1 【解析解析】一元二次方程一元二次方程x2-2x+k=0无实根无实根，b2-4ac=(-2)2-4k0，解得解得k1.由一元二次方程根的情况求字母取值由一元二次方程根的情况求字母取值 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程2mx2(4m1)x2m1=0,当当m为何值时方程有两个不相等的实数根？为何值时方程有两个不相等的实数根？错解：错解：方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，b24ac=(4m1)242m(2m1)=16m10，解得解得m .6失 分 点6失 分 点【错误分析】【错误分析】忽视一元二次方程二次项系数不为忽视一元二次方程二次项系数不为0.【自主解答】【自主解答】解：解：方程是一元二次方程方程是一元二次方程，2m0，即即m0，b24ac=(4m1)242m(2m1)=16m10，解得解得m ，m ，且且m0.【名师提醒】【名师提醒】利用一元二次方程根的判别式解题时，应时刻牢利用一元二次方程根的判别式解题时，应时刻牢记隐含条件：二次项系数不为记隐含条件：二次项系数不为0.例例2如果一元二次方程如果一元二次方程 x22x3=0的两根为的两根为x1、x2，则，则x12x2+x1x22的值等于的值等于 ()A.6B.6C.5D.5【解析解析】一元二次方程一元二次方程x22x3=0的两根是的两根是x1、x2，x1x2=，x1x2=，x12x2+x1x22=x1x2(x1x2)=32=6.A一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系类型类型类型类型 二二二二 拓展拓展2(2016鄂州鄂州)关于关于x的方程的方程(k1)x22kx2=0.(1)求证：无论求证：无论k为何值，方程总有实数根；为何值，方程总有实数根；(2)设设 x1、x2 是方程是方程(k1)x22kx2=0的两个根，记的两个根，记 S=，S的值能为的值能为2吗？若能，求出此时吗？若能，求出此时k的的 值，若不能，请说明理由值，若不能，请说明理由4(k1)240，此时原方程有两个不相等的实数根；，此时原方程有两个不相等的实数根；当当k1=0，即，即k=1时，时，原方程化为原方程化为2x2=0，此时，此时，x=1，方程有一个解，方程有一个解综上，方程总有实数根；综上，方程总有实数根；(1)证明：证明：当当k10，即，即k1时，时，b24ac=(2k)24(k1)2=4(k1)24，(k1)20，4(k1)20，(2)解：解：S的值能为的值能为2，此时，此时k=2.理由如下：理由如下：方程有两个实根，方程有两个实根，k10，即，即k1，x1x2=，x1x2=，k1，S=2(k-1)又又S=2，2(k-1)=2，解得解得k=2.导方 法 指 一元二次方程中利用根与系数的关系求代数式的值一元二次方程中利用根与系数的关系求代数式的值常用到以下几个关系式：常用到以下几个关系式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).注意隐含条件：注意隐含条件：a0，b2-4ac0.例例3 (2016衡阳衡阳)随着居民经济收入的不断提高以及汽车随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速进展，家用汽车已越来越多地进入一般家庭，抽业的快速进展，家用汽车已越来越多地进入一般家庭，抽样调查显示，截止至样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为年底某市汽车拥有量为16.9万辆万辆,已知已知2013年底该市汽车拥有量为年底该市汽车拥有量为10万辆，设万辆，设2013年底至年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，依据题意，依据题意列方程得列方程得()A.10(1x)2=16.9 B.10(12x)=16.9C.10(1x)2=16.9 D.10(12x)=16.9一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用类型类型类型类型 三三三三 【解析解析】由于年平均增长率为】由于年平均增长率为x，从，从2013年到年到2015年连续增长两年，开头量为年连续增长两年，开头量为10万辆，结束万辆，结束量为量为16.9万辆，则可列方程万辆，则可列方程10(1x)2=16.9.故故选选A.拓展拓展3某小区在绿化工程中有一块长为某小区在绿化工程中有一块长为18 m、宽为、宽为6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道等的人行通道(如图所示如图所示)，求人行通道的宽度，求人行通道的宽度解：解：设人行道的宽度为设人行道的宽度为x米，依据题意得米，依据题意得 (183x)(62x)=60，整理得整理得(x1)(x8)=0，解得解得x1=1，x2=8(不合题意，舍去不合题意，舍去)答：人行通道的宽度是答：人行通道的宽度是1 m.。
