含参数的一元二次不等式的分类求解策略 【摘 要】解含参数的一元二次不等式的主要难点在于分类讨论，除了常用的三种分类方法：对二次项系数a的讨论、对判别式?的讨论、按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小来分类，本文还介绍了一种“通法”关键词】一元二次不等式;含参数;解法;分类讨论G633.6 A 1671-8437（2021）16-0088-02一元二次不等式作为基础不等式，在高中数学中有非常广泛的应用它的解法不但将二次函数、二次方程和二次不等式密切联系起来，体现了数与形的完美结合，而且是导数中求单调区间、极值、最值的常用工具[1]对含参数的一元二次不等式的求解，始终是学生学习的一大难点，学生往往不清楚该如何对参数进行分类讨论对含参数的一元二次不等式常用的分类求解方法有三种[2]，下面通过四个例子指出其中的奥妙1 对二次项系数a的讨论若二次项系数a含有参数，则需要对a的符号分类，即分a>0，a=0，a<0例1：解关于x的不等式：ax2?（2a+1）x+2<0（a∈R）解析：二次项系数含有参数，因此须对a的符号进行讨论解：原不等式可化为（ax?1）（x?2）<0①当a>0时，原不等式等价于（x?2）（x?）<0。
∵ （x?2）（x?）=0的两个根分别是2，，∴ 当a∈（0，）时，2<，则ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|2当a=时，ax2?（2a+1）x+2当a∈（，+∞）时，<2，则ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|②当a=0时，原不等式为?x+22，即ax2?（2a+1）x+22}③当a<0时，ax2?（2a+1）x+2<0等价于（x?2）（x?）>0，由于<2，故ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|x2}综上所述，当a<0时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集为{x|x2};当a=0时，ax2?（2a+1）x+22};当0};当a=时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集为?;当a>时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集为{x|2 对所对应方程根的个数进行分类若判别式?=b2?4ac中含有参数，无法确定所对应方程根的个数，则需要对判别式?的符号分类，即分?>0，?=0，?<0例2：解关于x的不等式x2+ax+5≤0解析：由于判别式?=a2?20中含有参数，因此须对?的符号进行讨论解：∵ ?=a2?20，∴ 当a∈（?，）即?当a=即?=0时，不等式的解集为{x|x=?};当a>或a0，对应方程的两根分别为x1= ，x2= ，顯然x1> x2，∴ 不等式的解集为。
3 按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小来分类若不等式对应的方程的根为x1，x2，且其中含有参数，则须对x1，x2的大小分类，即分x1> x2，x1=x2，x1< x2例3：解关于x的不等式12x2?ax>a2（a∈R）解析：不等式可分解为（4x+a）（3x?a）>0，故只需比较两根与的大小解：原不等式可化为12x2?ax?a2>0，即（4x+a）（3x?a）>0令（4x+a）（3x?a）=0，解得x1=，x2=①当a>0时，<，不等式的解集为{x|x};②当a=0时，x2>0，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0};③当a，不等式的解集为{x|x}综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x};当a=0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0};当a<0时，不等式的解集为{x|x}上面三个例子，分别代表了含参数的一元二次不等式求解的三种常见的类型，但如果参数涉及多种类型的讨论，那么分起类来就会难以把握如何掌握好分类讨论的层次呢？一般按下面的次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类;其次根据根的个数，即?的符号进行分类;最后在根存在的前提下，再根据根的大小进行分类通过对上述三个例子的解题过程进行分析，可以发现一个简易的分类方法：根据一元二次不等式中二次项系数等于0和判别式等于0时所得到的值作为数轴的分点，然后对参数进行分区间讨论。
例4：解关于x的不等式：（a2?1）x2?3ax+3<0解：（a2?1）x2?3ax+3a2?1=0a=1或a=?1;?=（?3a）2?4（a2?1）3=0a=2或a=?2;∴当a0且?<0，（*）解集为?;当a=?2时，a2?1>0且?=0，（*）解集为?;当?20且?>0，（*）解集为（，）;当a=?1时，（*）3x+3<0x当?10，（*）解集为（?∞，）∪（，+∞）;当a=1时，（*）?3x+31，（*）解集为（1，+∞）;当10且?>0，（*）解集为（，）;当a=2时，a2?1>0且?=0，（*）解集为?;当a>2时，a2?1>0且?<0，（*）解集为?综上，可知当a≤?2或a≥2时，（*）解集为?;当?2当a=?1时，（*）解集为（?∞，?1）;当?1（，+∞）;当a=1时，（*）解集为（1，+∞）;通过上面的例子，可以体会到这类问题的“通法”有一定的便捷性参考文献】[1]张娟，杜以海.含字母参数的一元二次不等式的解法[J].数理化学习（高中版），2010（20）.[2]李军文.“含参数一元二次不等式的解法”教学设计及体会[J].中学数学月刊，2012（8）.【作者简介】梁东（1979～），男，汉族，广东信宜人，本科，高中数学一级教师。
研究方向：中学数学教学 -全文完-。