解读高考圆锥曲线试题一、 轨迹问题例1 (天津卷)设椭圆x2a2+y2b2=1(a > b>0)的左右焦点分别为F1、F2, A是椭圆上的 一点, AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为1 3| OF1|. (1)证明a =2b; (2)设Q1, Q2为椭圆上的两个动点, OQ1⊥OQ2,过原点O作直 线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方 程. 解析: (1)略; (2) (直接法)设D (x0, y0) ,当y0≠0时,由OD⊥Q1Q2得直线Q1Q2的方程为y = -x0y0(x - x0) + y0.令k = -x0y0, m =x2 0 y0+ y0,即 y = kx +m. 点Q1(x1, y1) , Q2(x2, y2)满足方程组y = kx +m,x2+2y2=2b2.消去y得(1+2k2) x2+4km x +2m2-2b2=0.知x1+ x2= -4km 1+2k2, x1x2=2m2-2b21+2k2.又y1y2= (kx1+m ) (kx2+m )= k2x1x2+ km (x1+ x2) +m2=m2-2b2k21+2k2.由OQ1⊥OQ2知x1x2+ y1y2=0.代入得 3m2-2b2-2b2k21+2k2=0.将k = -x0y0, m =x2 0 y0+ y0代入整理得x2 0+ y2 0=2 3b2.当y0=0时,验证上式也成立.故点D的轨迹方程为x2+ y2=2 3b2.备选 题1 (福 建卷)如图1,已知点F (1,0) ,直线l: x = -1, P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP→·QF→= FP→·FQ→. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知MA→=λ1AF→, MB→=λ2B F→,求λ 1+λ2的值.[答案: (1) y2=4x; (2)0. ]二、 最值问题例2 (全国 Ⅰ卷)已知椭圆x23+y22=1的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P. (Ⅰ)设P点的坐标为(x0, y0) ,证明:x2 0 3+y2 0 2b >0)的离心率为6 3,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为3 2,求△AOB面积的最大值.[答案: (1)x23+ y2=1; (2)3 2]备选题3 (浙江卷)直线y = kx + b与椭圆x24+ y2=1交于A、B两点,记 △AOB的面积为S. (1)求在k =0,0b >0) ,知a + c =3, a - c =1, 得a =2, c =1, b2=31所以椭圆方程为x24+y23=1.(Ⅱ)设A (x1, y1) , B (x2, y2) ,联立y = kx +m,x24+y23=1,得(3+4k2) x2+8m kx +4(m2-3)=0. 由Δ>0]3+4k2- m2>0.又x1+ x2= -8m k 3+4k2, x1x2=4(m2-3) 3+4k2.得y1y2= (kx1+m ) (kx2+m )=3(m2-4k2) 3+4k2.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0) ,所以kADkBD= -1]y1x1-2·y2x2-2= -1]y1y2+ x1x2-2(x1+ x2) +4=0]3(m2-4k2) 3+4k2+4(m2-3) 3+4k2+16m k 3+4k2+4=0]9m2+16m k +4k2=0]m1= -2k, m2= -2k 7,且均满足3+4k2- m2>0.当m1= -2k时, l的方程为y = k (x -2) ,直线过椭圆右顶点(2,0) ,与已知矛盾;当m2= -2k 7时, l的方程为y = k (x -2 7) ,直线过定点(2 7,0).所以,直线l过定点,定点坐标为(2 7,0).备选题4 (广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、 半径为2 2的圆C与直线y = x相切于坐标原点O.椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上 是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.[答案: (1) (x +2)2+ (y -2)2=8; (2)存在为(4 5,12 5) ]3.定值问题例5 (宁夏卷)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+ y2=1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围; (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量OP→+OQ→与AB→共线?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.解析: (1)设l: y = kx +2,代入椭圆方程整理得(1 2+ k2) x2+2 2kx +1=0.①由Δ=4k2-2>0解得k的取值范围为( -∞, -2/2)∪(2/2, +∞).(2)设P (x1, y1) , Q (x2, y2) ,则OP→+OQ→= (x1+ x2, y1+ y2).由 ①得x1+ x2= -4 2k 1+2k2.②又y1+ y2= k (x1+ x2) +2 2.③而A (2,0) , B (0,1) , AB→= ( -2,1) ,故向量OP→+OQ→与AB→共线 Ζx1+ x2= -2(y1+y2).将 ②③代入得k =2/2|( -∞,-2/2)∪(2/2,+∞).故不存在.备 选 题4 (重 庆卷)如图4,中心在原点O 的椭圆右焦点为F (3,0) ,右准线l的方程为x=12.(1)求椭圆的方 程; (2)在椭圆上任取三个不同的点P1, P2, P3,使 ∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明1 | FP1|+1 | FP2|+1 | FP3|为定值,并求此定值.(答案:2 3)三、 与向量、 三角等整合例6 (湖南卷)已知双曲线x2- y2=2的左、 右焦点分别为F1、F2,过F2的动直线与双曲线相交于A、B两点. (1)若动点M满足F1M→=F1A→+ F1B→+ F1O→(O为坐标原点) ,求点M的轨迹方程; (2)在x轴上是否存在定点C,使得CA→·CB→为常数?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)知F1( -2,0) , F2(2,0).设A (x1, y2) , B (x2, y2).设M (x, y) ,则F1M→= (x +2, y) , F1A→= (x1+2, y1) , F1B→= (x2+2, y2) , F1O→= (2,0).由F1M→= F1A→+ F1B→+ F1O→,得 x +2= x1+ x2+6,y = y1+ y2,即 x1+ x2= x -4,y1+ y2= y.于是AB的中点坐标为(x -4 2,y 2).当AB不与x轴垂直时,y1- y2x1- x2=y 2 x -4 2-2=y x -8,即 y1- y2=y x -8(x1- x2).又因为A, B两点在双曲线上,所以x2 1- y2 1=2, x2 2- y2 2=2. 两式相减得(x1- x2) (x1+ x2)= (y1- y2) (y1+ y2) ,即 (x1- x2) (x -4)= (y1- y2) y.将y1- y2=y x -8(x1- x2)代入上式,化简得(x -6)2- y2=4.当AB与x轴垂直时, x1= x2=2,求得M (8,0) ,也满足上述方程.所以点M的轨迹方 程是(x -6)2- y2=4.(Ⅱ)假设存在定点C (m,0) ,使CA→·CB→为常数.当AB不与x垂直时,设直线AB: y = k (x-2) (k≠±1) ,代入x2- y2=2有(1- k2) x2+4k2x - (4k2+2)=0. 则x1, x2是上述方程的两个实根,所以x1+ x2=4k2k2-1, x1x2=4k2+2 k2-1,于是CA→·CB→= (x1- m ) (x2- m ) + k2(x1-2) (x2-2) = (k2+1) x1x2- (2k2+m ) (x1+x2) +4k2+m2=2(1-2m ) +4-4m k2-1+m2.因为CA→·CB→是与k无关的常数,所以4-4m =0,即m =1,此时CA→·CB→= -1. 当AB与x轴垂直时,点A, B的坐标可分别设为(2,2) , (2, -2) ,此时CA→·CB→= (1,2)·(1, -2)= -1.故在x轴上存在定点C (1,0) ,使CA→·CB→为常数. 例7 (江西卷)设动点P到A ( -1,0)和B (1,0)的距离分别为d1, d2,∠APB=2θ,且存在常数λ(0<λ<1) ,使得d1d2sin2θ=λ.(1)证明:动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程; (2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使OM→·ON→=0,其中O是坐 标原点. 限于篇幅,解答过程从略.答案: (1)x21-λ-y2λ=1; (2)5-1 2≤λ<2 3.备选题5 (四川卷)设F1、F2分别为椭圆x24+ y2=1的左、 右焦点 1(1)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1→·PF2→的最大值和最小值;(2)设过定点M (0,2)的直线l与椭圆交于不 同的两点A、B,且 ∠AOB为锐角(其中O为坐标原点) ,求直线l的斜率k的取值范围.[答案: (1)1,-2; (2) ( -2,-3/2)∪(3/2,2) ]五、 以圆为主体背景设计的试题常常穿插进行 例8 (全国 Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线: x -3y =4相切. (1) 求圆O的方程; (2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使| PA |、| PO |、| PB |成等比数列,求PA→·PB→的取值范围.解析: (1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x -3y =4的距离,即r =41+3=2.得圆O的方程为x2+ y2=4.(2)不妨设A (x1,0) , B (x2,0) , x1< x2.由x2=4即得A ( -2,0) , B (2,0).设P (x, y) ,由| PA | , | PO | , | PB |成等比数列,得(x +2)2+ y2(x -2)2+ y2= x2+ y2,即 x2- y2=2.PA→·PB→= ( -2- x, - y)·(2- x, - y)= x2-4+ y2=2(y2-1).由于点P在圆O内,故x2+ y2<4,x2- y2=2. 由此得y2<1.所以PA→·PB→的取值范围为[ -2,0).。