专题02 反比例函数（6个考点清单+9种题型解读）目录【考点题型一】根据定义判断是否是反比例函数 4【考点题型二】判断点是否在反比例函数上 6【考点题型三】已知双曲线发布的象限求参数范围 8【考点题型四】判断反比例函数的增减性 10【考点题型五】反比例函数的图象和性质 11【考点题型六】比较反比例函数值或自变量的大小 14【考点题型七】一次函数与反比例函数图象综合判断 15【考点题型八】一次函数与反比例函数的交点问题 19【考点题型九】待定系数法求反比例函数的表达式 23【知识点01】反比例函数的概念1）反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．【知识点02】反比例函数的图象和性质1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大【知识点03】反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．注：1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．【知识点04】反比例函数解析式的确定1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．【知识点05】反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．【知识点06】反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．【考点题型一】根据定义判断是否是反比例函数【例1】（23-24九年级上·四川达州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24七年级下·山东·期末）下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）A． B． C． D．【变式1-3】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）A． B． C． D．【考点题型二】判断点是否在反比例函数上【例2】（23-24八年级下·河北张家口·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（ ）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ）A．0 B． C．2 D．【考点题型三】已知双曲线发布的象限求参数范围【例3】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图是反比例函数的图像，写出一个符合要求的整数的值是 ．【变式3-1】（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值）【变式3-2】（23-24九年级上·河南·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的的整数值 ．【变式3-3】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ．【考点题型四】判断反比例函数的增减性【例4】（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）反比例函数的图象，当时，随的增大而 ．【变式4-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ．【变式4-2】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”）【考点题型五】反比例函数的图象和性质【例5】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）A．图象经过点B．图象关于直线对称C．图象位于第二、四象限D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大【变式5-1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法不正确的是（ ）A．函数图象经过点−3,2 B．函数图象在第二、四象限C．比例系数是 D．当时，随的增大而减小【变式5-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（ ）A． B．图象也经过点B2,1C．若时，则 D．，y随x的增大而减小【变式5-3】（23-24九年级上·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ）A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限C．点和都在该图像上 D．当时，【考点题型六】比较反比例函数值或自变量的大小【例6】（24-25九年级上·江苏南通·期末）若点，，在该反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 （用“”连接）．【变式6-1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则 （填“”“<”或“”）．【变式6-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知反比例函数的图象位于二、四象限，点在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”）【变式6-3】（22-23九年级上·河南郑州·期末）若点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为 （用“”连接）【考点题型七】一次函数与反比例函数图象综合判断【例7】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）A． B． C． D．【变式7-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A．B．C． D．【变式7-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（ ）A．B．C． D．【变式7-3】（2024·河南南阳·一模）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C． D．【考点题型八】一次函数与反比例函数的交点问题【例8】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的其中一个交点，则（ ）A． B． C． D．【变式8-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（ ）A． B．C． D． 或 【变式8-2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（ ）A．或 B．或C． D．或【变式8-3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点题型九】待定系数法求反比例函数的表达式【例9】（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点，与交于点．(1)求值；(2)求的面积．【变式9-1】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第一象限相交于C点，作轴于D点，若，，． (1)求反比例函数的解析式；(2)的面积为________．【变式9-2】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点B的坐标为，连接，，过点B作轴于点D，交于点C，且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求的。
