探究“加速度与力、质量的关系”的最优实验方案摘要：山于传统的实验方法在探究加速度与合外力和质量的关系时误差较大，本文基于“控制变量法”， 挖掘教材中的实验方法，深入探究测量加速度和合外力的各个实验方案，并对各方案进行细致的误差分析, 最后提出几个系统误差较小的实验方案关键词：加速度质量误差本实验研究小车（或滑块）的加速度a与其所受合外力F及小车（或滑块）的质量M的 关系由于涉及三个变量的关系，故在实验中釆用控制变量法，即：⑴控制小车（或滑块）的质量M不变，讨论加速度a与合外力F的关系；⑵控制小车（或滑块）所受合外力F不变，改变小车（或滑块）的质量M,讨论加速度 a与M的关系；⑶综合起来，得出a与F、M的定量关系实验中涉及三个物理量的测量，即质量、加速度和力其中加速度和力的测量方法具有探究如何测量小车的加速度1、纸带分析方法（或频闪照片分析方法）打点计时器图1纸带实验装置如图1所示，从打出的纸带中选择一条比较理想的纸带（或频闪照片），为了提 高数据精确度，舍去开始比较密集的点（或影像）先确定-•个合适的点（或影像）作为计数 起始点，若每5个点取一个计数点，用毫米刻度尺量岀相邻两计数点之间的距离，如图2所 示。
可以通过两种方法求出加速度图2① 用逐差法处理实验数据x4 - = 3a}T29T2古攵 a = 】+2 + ^3 _X4+X5+X6-X]-X2-X3 _ 3② 用图像法处理实验数据Xj + Xj“ 心+勺X4+X5%+兀62Tv2 -2TVo 一27V4 —2Tv5 一2T作岀v・t图像如图3所示则由图像可和小车的加速度为"计2、 对比分析法实验装置如图4所示，取两个质量相同的小车，放在光滑的平而上，小车的前端分别拴 上细绳，绳的一端跨过定滑轮，各挂一个小盘，盘里分别放着数目不同的%去码，小车的后端 各系上一根细绳，一起用夹了夹住打开夹了，让两个小车在不同的拉力的作用下，同时从 静止开始匀加速运动，经过一段时间后关上夹子，让两个小车同时停下来，由x = -at2^：2相等的时间里，XX6/O因此实验不必计算出加速度，可以采用比较位移的方法来比较加速度 的大小图4例如：某小组设计双车位移比较法來探究加速度与力的关系，通过改变祛码盘中的舷码來改 变拉力的大小，实验数据如表1所示：实验 次数小车拉力F/N位移 s/cm拉力比F^/F乙位移比$卩/s乙1A0. 122. 30. 500. 51B0. 243. 52A0. 229. 00. 670. 67B0. 343. 03A0. 341. 00. 750. 74B0. 455. 4表1分析表中数据可得到结论：在实验误差范围内当小车质量保持不变时，由于xocF,说明 a cc F o3、 光电门计时法图5实验装置如图5所示，在小车上安装宽度为d的挡光片，小车在牵引力作用下先后通过 两个光电门配套的数字计时器记录了通过第一个光电门的时间5,通过第二个光电门的时间J，贝几小车通过第一个光电门的速度■斗 小车通过第二个光电门的速度冬斗若测2 2 z 2 \ >9得两光电门间距为X,则滑块的加速度」—岭=厲仟。
2x 2xt；t2~4、 DIS实验法将位移传感器的发射器装在运动小车上，将接收器装在小车运动轨道的末端，并通过数 据采等器输入计算机，就可以描绘岀小车的速度图像并测量出其加速度大小，实验装置如图 6所示图6二、 如何测量小车（或滑块）所受合外力1、 处理摩擦力小车在水平面上的受力如图7所示，由于小车所受阻力在实验中较难直接测量，因而需 要处理其所受摩擦阻力，实验中常用以下两种方法处理摩擦阻力♦ N图7① 用斜面平衡摩擦力将平面变成斜面，通过调节斜面的倾角，总可以让小车所受重力、支持力和摩擦力的合 力为零，即垂力沿斜面向下和分力与摩擦力平衡，此时小车所受的合力等于绳对小车的拉力用实验检验平衡效果的方法如2将长木板和一端垫高，使Z形成一个斜面，将小车放到时 斜面上，轻推小车，给小车一个初速度让其在斜面上滑动通过调节斜面使小车基本能做匀 速直线运动装上纸带和打点计时器，微调斜面，使打出的点迹均匀，则认为小车达到了平 衡状态平衡摩擦力以后，实验中需通过在小车上增加或减少袪码來改变小车的质量，但却改变 了小车对木板的压力，摩擦力随Z发生变化，那么每次改变小车质量以后需要重新平衡摩擦 力吗？具体分析如下：设小车的质量为M,小车拖着的纸带所受摩擦力为f,由平衡条件有:Mg sin 0 = /jMg cos 0 + f等式两边同时除以M,则有：gsin^ = jLigcos0 + —M由上式可知，由于纸带要受到摩擦力，故平衡一次摩擦力后木板的倾角不变，改变小车 的质量M,方程两边不再相等，小车所受的合外力的测量将会产生误差。
可见，只平衡一次 摩擦力后，木板倾角不变，不会消除由纸带的摩擦力引起的误差，若在实验时，纸带受到的 摩擦力小到可以忽略的程度，上述的方法述是可行的图8在平衡摩擦力吋产生的误差也可以通过由实验数据作岀的图像来分析若在实验得到图 象的图像如图9所示，直线I、II在纵轴和横轴上的截距较大，明显超出了误差范围图像I 在纵轴上有较大的截距，说明在绳对小车的拉力F = 0时（小车述没有系上一端拴有抵码盘的 细绳时），小车就有了沿长木板向下的加速度％设长木板与水平桌面间的夹角为小车所受的重力为Mg,沿长木板向下的分力应为Mg sin 6，长木板对小车的摩擦阻力应为 pMg cos e ,设运动系统所受其他阻力为f （可视为定值）,则有Mg sin & - “Mg cos & - = Ma.,如果适当减少&值，则可实现心=0,此时图象起点回到坐标系原点，I图线表明平衡摩擦 力时斜面的倾角过人0F图像II在横轴上有较大的截距，说明在绳对小车有了较大的拉力厲后，小车的加速度仍然为零，I大I此合外力一定为零，此时应有F+Mgsin0-“Mgcos/=0,其中最大静摩擦力f”严//MgcosO,且随&变化，故当&较小或等于0时该式成立。
II图线表明平衡摩擦力时斜 面的倾角过小② 用气垫导轨减小摩擦力气垫导轨在使用时，空气在导轨和滑块Z间形成空气薄膜，从而让滑块悬浮在导轨上， 岁于滑块与导轨没有直接接触，因而滑块所受摩擦力很小，可以忽略不计，其装置如图10所 不O图102、 获得小车（或滑块）所受合外力①用细绳一端的琏码盘及盘内琏码的总重力mg近似替代绳对小车的拉力，从而获得合 外力图11平衡摩擦力以后，小车所受合力等于绳对小车的拉力，但绳对小车的拉力并不等于袪码 盘及盘内磁码的总重力mg,对m进行受力分析如图所示11所示，由于M、m做匀加速直线 运动，由牛顿第二定律有：mg-T = ma,因而mg>T,故平衡摩擦力后的小车所受拉力并 不等于抵码盘及抵码的总重力对小车有：T = Md,解得：叱若以小车运动的加M + m速度为纵坐标，以合外力F = mg为横坐标作a・F图像如图12所示，此吋a=」一，图像的M + m斜率k=—^在M m条件下，增加m,斜率可认为等于丄，由于M不变，图线是直M + m M线，不满足Mm条件时，斜率k=—^—随m的增大而减小，故图中AB段向下弯曲 M + in图12实验中应该如何控制M和m的质量才能使系统误并较小呢？以下是只体的分析:对M、m整个系统有：mg=（M+加）a对 M： T = Ma由上两式可得：T = mgM + m由于—^—<1, mr20m （一般说：Mm）时，则可以认为T = mg 0由此产生的系统误差 小于5%,此时可以用磁码盘和磁码的总重力近似替代绳对小车的拉力。
打点计时器1氏带图13②用力传感器获得小车所受的拉力实验装置如图13所示，在小车或绳上安装能将数据进行无线传输的力传感器，将所测的 数据传输给计算机，这样就可以在计算机在读出拉力T的大小③ 改变斜面的倾角获得合外力图14图15实验装置如图14所示，保持斜面的长度不变，通过改变斜面的倾角來改变滑块所受合力 F,其受力分析如图15所示，先平衡摩擦力，设小车处于平衡态时斜而的倾角为则有： mg sin a = /.ang cos a ,解得// = tancr o T:衡摩擦力后，当斜面的倾角增大至0时，小车所受h h x ,―合外力 F = mg sin 卩 _ pmg cos 0 = mg （sin /?- tancrcos/?） = mg（ •—）其中 x分别为I心/小车处于平衡状态时斜面在水平方向的投影和斜面高，x和h分别为斜面倾角增大后斜面在 水平方向的投影和斜面高较小口斜面倾角变化较小吋有XUX此时可近似认为小车 所受合外力为F二罕⑺-他），即小车所受合外力正比于（/?-九）可见：用此方法提供合外 力可以通过增加斜面长度和减小摩擦力的方法来减小系统误差若斜面对小车的摩擦可忽略, 则合外力F = mg sin 0 = mg^ h ,实验中不必计算合外力，可以采用比较斜面高度的方法来 比较合外力的大小。
三、 提出优化后的实验方案通过以上对测量加速度和合外力方法的讨论，提出以下三个系统误差较小的实验方案供 读者参考方案一：以M、m整体为研究对象，消除系统误差实验中若以小车以研究对象，以祛码盘和祛码的总重力替代绳的拉力产生了系统误丼 为消除这种误差，可以以M、m整体为研究对象，则系统的质量为（M+加），系统所受合外 力F =吨验证a与总质量（M+加）的关系时，可以保证抵码盘内狂码不变，通过在小车上 增加抵码来改变小车的质量；验证a与合外力F的关系时，可以保证系统的总质量不变，通 过把小车上的祛码逐个放入祛码盘内來改变系统所受外力方案二：利用DIS实验精确测量实验装置如图16所示，用位移传感器测量小车的加速度，用拉力传感器测量小车受到的 拉力，将实验数据传输给计算机，在计算机中直接读出图16图17方案三：用气垫导轨构成斜面进行测量由于气垫导轨所受摩擦力可以忽略不计，设小车所受重力为mg,则小车所受合外力 尸=竽让滑块自斜而上方一固定点下滑，光电门测量岀滑块通过光电门的挡光时间耳和2 2『2,若挡光片宽度为〃，光电门间距为厶，则小车的加速度为 = ；儿，其小片=2、2/（） 儿v2=-o故只要验证V/-V；与h成正比，则当滑块质量一定吋，加速度a与合外力F成正 ‘2比。
研究合外力一定吋，加速度与质量的关系，rflF二竽可知，同吋改变m和h,只耍mh 的乘积不变，即保证合外力不变，加速度的测量方法同上参考文献：[1]陈熙谋、昊祖仁.物理必修1,教育科学出版社，2005年11刀笫一版，第75、76页[2]范福瑛.探究“加速度与质量、力的关系"的实验方法，教育网,2010年12月,第5、6页。