一元函数积分学11-12(定积分的几何应用(2)和物理应用)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A3.3 3.3 定积分的应用定积分的应用第第3 3章章 一元函数积分学一元函数积分学3.3.2 3.3.2 体积体积(2)(2) 3.3.3 3.3.3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 3.3.4 3.3.4 定积分的物理应用定积分的物理应用3.3 3.3 定积分的应用定积分的应用3.3.2 立体体积立体体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积3.3.3 平面曲线弧长平面曲线弧长直角坐标情形直角坐标情形参数方程情形参数方程情形极坐标情形极坐标情形计算曲线弧长习例计算曲线弧长习例3-7计算立体体积习例计算立体体积习例1-23.3.4 物理应用物理应用变力沿直线做功变力沿直线做功变力做功习例变力做功习例8-12 液体压力液体压力 液体压力习例液体压力习例13-14 万有引力万有引力万有引力习例万有引力习例15 函数的平均值与均方根函数的平均值与均方根 函数平均值习例函数平均值习例1616内容小结内容小结定 积 分 的 应 用定 积 分 的 应 用xoab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体，我们知道该立体上垂直于如果一个立体，我们知道该立体上垂直于 一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体 积也可用定积分来计算积也可用定积分来计算.)(xA表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴轴的截面面积，的截面面积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数],,[bax 积分变量积分变量.)(  badxxAV立体体积立体体积一、立体体积一、立体体积,)(dxxAdV  注意注意: 若立体垂直于若立体垂直于 y 轴的截面面积为轴的截面面积为B(y), 则则.)(  dcdyyBV一平面经过半径为一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底的圆柱体的底圆中心，并与底 面交成角面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积，计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 求求以半径为以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆半径的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积. 计算立体体积习例计算立体体积习例例例1例例2一平面经过半径为一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底的圆柱体的底圆中心，并与底 面交成角面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积，计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx  垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形 RR xyo  x ],,[RRx  积分变量积分变量截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA  立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122    .tan323 R 例例1求以半径为求以半径为 R 的圆为底、 平行且等于底圆半的圆为底、 平行且等于底圆半径的线段为顶、高为径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx   xyoRx 垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形 ],,[RRx  积分变量积分变量截面面积截面面积22)(xRhyhxA    立体体积立体体积dxxRhVRR    22.212hR  例例2 xoy0MA nMB  1M2M1 nM设设A、、B是曲线弧上的两是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni    ,,,,,110 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长此折线的长|| 11    niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.二、平面曲线弧长二、平面曲线弧长设曲线弧为设曲线弧为)(xfy   )(bxa  ，其中，其中)(xf 在在],[ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数取积分变量为取积分变量为x，在，在],[ba 上任取小区间上任取小区间],[dxxx ，，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长xoyabxdxx  dy小切线段的长小切线段的长22)()(dydx dxy21   弧长元素弧长元素dxyds21   弧长弧长.12dxysba    1. 直角坐标情形直角坐标情形曲线弧为曲线弧为,)()(       tytx   )(     t其中其中)(),(tt  在在],[  上具有连续导数上具有连续导数.22)()(dydxds  222))](()([dttt      dttt)()(22      弧长弧长.)()(22dttts         2. 参数方程情形参数方程情形曲线弧为曲线弧为)(     )( rr  其中其中)(  在在],[  上具有连续导数上具有连续导数.            sin)(cos)( ryrx)(     22)()(dydxds  ,)()(22   drr   弧长弧长.)()(22     drrs    3. 极坐标情形极坐标情形计算曲线弧长习例计算曲线弧长习例计算曲线计算曲线2332xy  上相应于上相应于x从从a 到到b的一段弧的一段弧的长度的长度. 例例3 计算曲线计算曲线  dnynx   0sin的弧长的弧长)0(   nx. 例例4 求星形线求星形线32 32 32 ayx  )0(  a的全长的全长. 例例5 求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线33sin        ar的长的长. . )0(  a   0()3 例例6 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 ar   )0(  a上相应上相应于于 从从0到到 2的弧长的弧长. 例例7 解解,21xy   dxxds2)(121  ,1dxx  所求弧长为所求弧长为dxxsba   1].)1()1[(3223 23ab    ab计算曲线计算曲线2332xy  上相应于上相应于x从从a 到到b的一段弧的一段弧的长度的长度. 例例3 解解nnxny1sin   ,sinnx dxysba    21dxnxn     0sin1ntx  ndtt     0sin1dtttttn                  0222cos2sin22cos2sindtttn            02cos2sin.4n 计算曲线计算曲线  dnynx   0sin的弧长的弧长)0(   nx. 例例4 解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为      taytax33sincos)20(    t根据对称性根据对称性14ss        dtyx       2 0224dttta    2 0cossin34.6a 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长求星形线求星形线32 32 32 ayx  )0(  a的全长的全长. 例例5 解解     drrs    )()(2231 3cos3sin32             ar,3cos3sin2           a.23a      daa24 26 2 3cos3sin3sin                      30  d23sin         30a求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线33sin        ar的长的长. . )0(  a   0()3 例例6 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 ar   )0(  a上相应于上相应于 从从0到到 2的弧长的弧长. 解解, ar        drrs    )()(22  .)412ln(412222         a   20  daa222    20a  d12 例例7 变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、 克服阻力作功、万有引力作功、克服阻力作功、万有引力作功、 弹力作功等弹力作功等.由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程 中有一个不变的力中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方作用在这物体上，且这力的方 向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距 离离s时，力时，力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW  . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就 不能直接使用此公式，而采用“不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想”思想. 三、变力沿直线所作的功三、变力沿直线所作的功解题思路：解题思路：(1) 适当选取坐标系及积分变量；适当选取坐标系及积分变量；(2) 写出功元素写出功元素 dw 的表达式；的表达式；(以不变代变，其中用了公式以不变代变，其中用了公式) sFw  (3) 列出定积分并求值即得列出定积分并求值即得 w .变力做功习例变力做功习例例例 8. 把一个带把一个带 +q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐标轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为个电场中距离原点为 r 的地方， 那么电场对它的作用的地方， 那么电场对它的作用力的大小为力的大小为 2rqkF  （（k 是常数） ， 当这个单位正电荷是常数） ， 当这个单位正电荷在电场中从在电场中从 r = a 处沿处沿 r 轴移动到轴移动到 r = b 处时，计算处时，计算电场力电场力 F 对它所作的功．对它所作的功． 例例 9. 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为米，底半径为 3 米，池内米，池内 盛满了水盛满了水.问要把池内的水全部吸。