第第 9 9 章章 资本市场均衡模型：资本资产定价模型资本市场均衡模型：资本资产定价模型 识别出在均衡时刻，切点资产组合就是市场证券组合，正是夏普-林特纳分析的所做出 的重要贡献 为了进一步理解 CML，我们有必要给出 CML 的具体方程： P M fM fP rrE rrE CML 的推导过程： 假设市场组合的风险和预期收益率的期望为 MM rE,， 无风险证券的风险和预期收 益率的期望为 ff r ,（其中：0 f ） ，投资者持有市场组合与无风险证券的权重分别为 x和)1 (x， 无风险证券与市场组合组成的投资组合P的预期收益率期望为 P rE， 方差为 2 P 那么这个新组合的预期收益率的期望和方差为： fMP rxrExrE1 2 2 2 2 2 2 2 )1 (2)1 ( MfMMffMP xxxxx 即： MP x，可知： M P x ，代入新组合P的期望公式，得到： fMP rxrExrE1 f M P M M P rrE 1 P M f fP M M r r rE fP M fM r rrE 故： r rrE rE P M fM P 可见：CML 的斜率为 M fM rrE ，它在纵轴上的截距为 f r。
任何在资本市场线上资产组合， 都是具有均值方差效率的资产组合， 而单一证券和无效 率的证券组合必然位于该线的下方处在均衡状态下的证券市场有两个特征： （1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率） ； （2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬 CML 也可以表示为： P M fM fP rrE rrE 我们把资本市场上任何一只证券的预期收益率高过无风险收益率的部分称为风险溢价 （Risk Premium）,证券组合的风险溢价为 fP rrE，市场组合的风险溢价为 fM rrE， 而市场组合的风险溢价除以市场组合的风险水平就是 CML 的斜率， 这个斜率被定义为风险的 市场均衡价格 风险的市场均衡价格乘以组合的风险水平，就是组合的风险溢价，即是： P M fM fP rrE rrE 其实这也是刚才所说的 CML 的另外一种表述它把组合收益、组合风险水平、风险的市 场均衡价格之间的关系准备地揭示出来 风险的市场均衡价格是追求高收益、 低风险的投资者， 通过完善的资本市场交易最终形 成的结果，但是，对于每一个投资者而言，他是这个价格的接受者（假设 4） 。
我们也假设 投资者总是持有无风险证券和市场组合 （市场组合又是风险被充分分散化后的组合或者说市 场组合仅仅含有不可分散风险而不再包含可分散风险了） ，因此，资本市场线告诉我们： （1）持有充分分散的市场组合时，我们可以用 P 表示其风险水平，否则用 P 表示组 合的风险不一定适当； （2）仅仅当投资者持有市场组合和无风险证券的某种组合时，才能用资本市场线来确 定组合的预期收益率，但是此时，资本市场线并不能给我们提供每一个证券的预期收益率 9.3 9.3 证券市场线（证券市场线（Security Market LineSecurity Market Line，，简称简称 SMLSML）） 为了推导出最终的 CAPM 模型，我们还要再构造一个特殊的投资组合这个投资组合 由某一个证券i和市场组合M形成的组合这个证券i和市场组合M在这个特殊组合中的 权重分别为x和x1，其中，10 x中，可以知道： 当0 x时，证券市场是均衡的（因为i证券可以代表市场中的任何一只证券，如果 对任何一个证券都不存在过度需求，那此时证券市场是均衡的 ） ； 当0 x时，证券市场是不均衡的，也就是说市场上存在着对于这个i证券的过度需 求； 这个特殊组合的预期收益率的期望和标准差分别为 P rE和 P ， 且这个i证券与市场 组合M预期收益率之间的协方差为 Mi rrCov,，那么，我们可以得到： MiP rExrExrE1 MiMiP rrCovxxxx,)1 (2)1 ( 2 2 2 2 这个方程表示的是证券i和市场组合M形成的特殊组合的投资可行集， 它们所组成的 有效前沿是可行集的一个子集。
如图 9-2 所示： EF-是包含全部风险证券的有效前沿，EF-是证券i和市场组合M形成的特殊组合 的有效前沿，因为，i与M的组合的可行集是全部风险证券可行集的一个子集，那么 EF- 肯定位于 EF-的右下方，当且仅当0 x时，i和M的组合过M点，即 EF-过M点， 那么 EF-必然与 EF-相切，且切点为M 那么， EF-在M点切线的导数（ 0 x P P d rdE ）和 EF-在 M 点的导数相同，由前面 的讨论我们知道 EF-在M点的导数即是 CML 的斜率 M fM rrE ，那么： M fM x P P rrE d rdE 0 所以我们要先求导出 P P d rdE 由前面的讨论，可知： MiP rExrExrE1 MiMiP rrCovxxxx,)1 (2)1 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ,)1 (2)1 ( MiMi rrCovxxxx 那么， dx d dx rdE d rdE P P P P MiMi MiMiMi rrCovxxx rrCovxxxxrErE ,42122 ,)1 (2)1 (2 22 2 2 2 2 推导过程： dx d dx rdE d rdE P P P P MiMiMiMi Mi rrCovxxxrrCovxxxx rErE ,42122,)1 (2)1 ( 2 1 22 1 2 1 2 2 2 2 MiMiMiMi Mi rrCovxxxrrCovxxxx rErE ,42122,)1 (2)1 ( 2 1 22 2 1 2 2 2 2 MiMi MiMi Mi rrCovxxx rrCovxxxx rErE ,42122 ,)1 (2)1 ( 1 2 1 22 2 2 2 2 MiMi MiMiMi rrCovxxx rrCovxxxxrErE ,42122 ,)1 (2)1 (2 22 2 2 2 2 将0 x代入上式，可知： M fM MMi MMi x P P rrE rrCov rErE d rdE 2 0 , 化简这个公式： fM M Mi fi rrE rrCov rrE 2 , 设 2 , M Mi i rrCov ，那么： 任何一个证券i的预期收益率的期望可以表达为： fMifi rrErrE 这就是我们千呼万唤的 CAPM 模型。
它有时候也可以表示成为： fMifi rrErrE 图 9-2 资本市场线（CML） 从 CAPM 模型，我们可以看到，任一证券的期望收益率可分成两部分：一部分是无风险 利率 ，另一部分是由于风险存在而增加的利率补偿 ，风险越大，则第二部分也就越大，亦 即对该证券的期望收益率就越大，这是与我们的生活常理相符合的 在 CAPM 模型中，我们发现是一个非常重要的变量所以在这里非常有必要对多解 释一下，从 CAPM 模型中我们很显然可以看出， i 在那里实际上已成为证券风险大小的衡量 标志了，因为 M rE和 f r是给定的事实上，如果1 i ，则说明证券i的风险大于市场证 券组合M的风险，因而 i rE当然应大于市场证券组合收益率的期望值 M rE；反之若 1 i ，很显然，我们同样得到 Mi rErE 我们知道： M iiM M MiiM M Mi i rrCov 22 , ，于是，我们可以把 CAPM 模型改 写成： CML EF- EF- fM M iiM ffMifi rrErrrErrE 即： iiM M fM fi rrE rrE 对于上式右侧的风险补偿的第二个部分（ iM M fM rrE ） ，可以这样理解： 由于整个市场存在风险，那么对它给予的风险补偿应是 fM rrE，注意到市场风险 的大小是用 M 来表征的， 于是 M fM rrE 就可理解为 “平均单位市场风险”给予的补偿， 现在证券i的风险为 i ，将它“折算”成市场风险，则其折算值即是 iiM ，将“平均单位 市 场 风 险 ” M fM rrE 与 证 券i的 市 场 风 险 iiM 相 乘 ， 那 么 他 们 的 乘 积 iiM M fM rrE 当然就是证券i的风险补偿了。
这样我们利用资本资产定价模型（ fMifi rrErrE）就可以对任一证券的 预期收益率的作出期望（估计） ，但是这里的关键因素是要估算出，现实中，如果证券市 场的发展是平稳、有秩序的，我们就可以利用有关历史数据来作回归分析，从而得到的 估计值 这样我们又可以作出一张图，只不过这张图的横轴与纵轴不是之前资本市场线（CML） 所处在的那个 rE,平面上了，而是处在 rE,平面上的证券市场线（SML） ，就是如 图 9-3 所示 SML 图 9-3 证券市场线（SML） 9.4 9.4 关于关于的进一步讨论的进一步讨论 系数的一个重要性质是具有线性可加性，即在一个包含n项证券（资产）的投资组 合里，各项证券（资产）的比重是 i ，系数是 i ，则组合的系数为 n i ii 1 一项资产的风险补偿应当是它的系数乘以有风险资产的市场组合的风险补偿 9.4.1 当当0时时 当0时，该证券（资产）的收益率变化与市场同向 （1）1时，该证券（资产）的价格波动大于市场的平均价格波动，风险补偿大于 市场组合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平高； 若市场收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平高。
（2）10时，该资产的价格波动小于市场的平均价格波动，风险补偿小于市场组 合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平低；若市场 收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平低 9.4.2 当当0时时 当0时，该证券（资产）的收益率变化与市场反向 这就意味着在市场收益率上升时，投资者应当选择投资于系数大于 1 的资产，而当 市场收益率下降时，投资者应当选择投资于系数小于 1 的资产，以最大化其投资收益 以上给出的关于 CAPM 的推导过程其实就是 Sharpe 的推导方法， 事实上有另外一个叫作 Linter 的学者和 Sharpe 一样在上个世纪的六十年代给出了和 Sharpe 完全不一样的思路的 关于 CAPM 的证明 9.9.5 5 放弃部分假设的放弃部分假设的 CAPMCAPM 模型模型 在前面的分析中，我们给出了 CAPM 模型的八个假设，事实上呢，有一些假设的提出是 为了分析的方便，而并不符合实际情况，现在我们来试图放弃一些假设，看看 CAPM 模型能 否继续存在 9.4.1 9.4.1 不存在无风险证券的情形不存在无风险证券的情形 CAPM 模型的标准形式要求市场中必须有利率为 f r无风险证券，而且要求在一定的限 度内，人们可以自由地以 f r这个利率借或贷资金。
但是，在实际生活上，这些是不存在的，其理由如下： （1）在全球性的通货膨胀中，即使对于政府发行的国库券，虽然利率是不变的，但这 个利率是名义利率，由于存在通货膨胀，其实际。