精品文档泛函分析题1_1压缩映射原理p91.1.1证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间， 而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．证明：(1)设(X, )是完备度量空间，A X，A是X的闭子集．若{xn}是A中的Cauchy列，则{xn}也是X中的Cauchy列．因(X,)完备，故{xn}收敛于X中某点x．而A是X的闭子集，且{xn}是A中的点列，故其极限x也在A中．因此，{xn}是子空间A中收敛列．所以，子空间(A,)是完备的．(2)设(X, )是度量空间，B X，B是X的完备子空间．若{xn}是B中的点列，且在 X中收敛于xX．则{xn}是X中的Cauchy列，因此{xn}也是B中的Cauchy列．由B是X的完备子空间，故{xn}也是B中的收敛列．若{xn}在B中收敛于yB，则{xn}作为X中的点列也收敛于y．由极限的唯一性，xy．故xB．所以B是X中的闭子集．1.1.2(Newton 法)设f是定义在[a,b]上的二次连续可微的实值函数， z(a,b)使得f(z)=0，f’(z) 0．求证存在z的邻域U(z)，使得 x0 U(z)，迭代序列xn+1=xn f(xn)/f’(xn) (n=0,1,2,...)是收敛的，并且 limn xn=z．证明：首先，由 f’(z) 0，存在z的邻域V (a,b)，使得f’在cl(V)上总不为0．41/4设m=min{|f’(x)|xcl(V)}，M=max{|f’’(x)|xcl(V)}，则m>0．由f(z)=0，存在z的邻域U=(z,z+)V，使得tcl(U)，|f(t)|m2/(M+1)．设T:cl(U)，T(x)=xf(x)/f’(x)．则T在cl(U)上是连续可微的．则x,ycl(U)，存在U，使得T(x)T(y)=T’()(xy)．故|T(x)T(y)|=|T’( )|·|xy|=|f()f’’()/f’( )2|·|xy|m2M/((M2)·y|=(M/(M·．+1)m|x+1))|xy|特别地，xcl(U)，|T(x)T(z)|(M/(M+1))·|xz||xz|．而T(z)=zf(z)/f’(z)=z，故|T(x)z|，即T(x)cl(U)．所以，T是cl(U)上的压缩映射．x0 U，迭代序列xn+1=xn f(xn)/f’(xn) (n=0,1,2,...)就是cl(U)上的压缩映射T所产生迭代序列 xn+1=T(xn) (n=0,1,2,...)．由压缩映射原理，{xn}是收敛的，并且 limn xn=z．1.1.3设(X, )是度量空间，映射 T:X X满足(Tx,Ty)< (x,y)( x y)，并且已知T有不动点，求证此不动点是唯一的．证明：若不然，设 T有不同的不动点 x,y X，则(x,y)= (Tx,Ty)< (x,y)，矛盾．故T的不动点是唯一的．1.1.4设T是度量空间上的压缩映射，求证 T是连续的．证明：设(X, )是度量空间，0< <1，T:X X是满足(Tx,Ty) ·(x,y) ( x,y X)的压缩映射．2/4若{xn}是X中收敛于x的点列，则(xn,x)0．而(Txn,Tx)·(xn,x)，故有(Txn,Tx)0．因此T连续．1.1.5设T是压缩映射，求证Tn(n +)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立．证明：(1)设(X, )是度量空间，0< <1，T:X X是满足(Tx,Ty) ·(x,y) ( x,y X)的压缩映射．n +，若S=Tn是压缩映射，则 x,y X，有(Tn+1x,Tn+1y)= (Tn(Tx),Tn(Ty))= (S(Tx),S(Ty)) (Tx,Ty) ·(x,y)．所以Tn+1也是压缩映射．由数学归纳法原理，Tn(n +)都是压缩映射．逆命题不成立的例子：考虑T:[0,2] [0,2]，其中T定义如下：当x [0,1]时，T(x)=0；当x (1,2]时，T(x)=x 1．显然T不是压缩映射．但x[0,2]，T(T(x))=0．因此，T2是压缩映射．1.1.6设M是(n, )中的有界闭集，映射 T:M M满足： (Tx,Ty)< (x,y)( x,y M，x y)．求证T在M中存在唯一的不动点．证明：(反证法)假若T在M中没有不动点．显然，T在M上是连续的，故函数 (x,Tx)在M上连续且恒大于 0．3/4因M是(n,)中的有界闭集，故(x,Tx)在M中某点x0处达到下确界．00020)<00)，矛盾．0<(x,Tx)(Tx,Tx(x,Tx所以，T在M中存在不动点．根据1.1.3，该不动点是唯一的．1.1.7对于积分方程x(t)[0,1]et–sx(s)ds=y(t)，其中y(t)C[0,1]为一给定函数，为常数．||<1，求证存在唯一解x(t)C[0,1]．证明：首先积分方程等价于e–tx(t)[0,1]e–sx(s)ds=e–ty(t)，令z(t)=e–tx(t)，w(t)=e–tw(t)，则方程变为z(t)[0,1]z(s)ds=w(t)．因此只要证明上面的方程有唯一解z(t)C[0,1]．设T:C[0,1]C[0,1]，(Tz)(t)=w(t)+[0,1]z(s)ds．则z1,z2C[0,1]，|(Tz)(t)(Tz)(t)|=||·|[0,1](z1(s)z2(s))ds|12||·[0,1]|z1(s)z2(s)|ds||·maxt[0,1]|z1(t)z2(t)|；故(Tz1,Tz2)||·(z1,z2)．因此，T是C[0,1]上的压缩映射．故T在C[0,1]上有唯一不动点．即存在唯一的z(t) C[0,1]，使得z(t)=w(t)+ [0,1]z(s)ds．4/4。