放缩技巧总结---学案证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、 裂项放缩例1.(1)求的值; (2)求证:.技巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证:(4) 求证：例3.求证: 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:. 例5.已知,求证: . 例6.已知,,求证:.例7.已知,,求证:二、 函数放缩例8.求证：.例9.求证:(1)例10.求证: 例11.求证:和.例12.求证:例13.证明:例14. 已知证明.例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 例16.(2008年福州市质检)已知函数若 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.三、 分式放缩 例19. 求证和也可以表示成为和四、 分类放缩例21.求证: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<.例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:. 五、 迭代放缩例25. 已知,求证:当时,例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<六、 借助数列递推关系例27.求证:例28. 求证:例29. 若,求证:七、 分类讨论例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有 八、 线性规划型放缩例31. 设函数.若对一切，，求的最大值九、 均值不等式放缩例32.设求证例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.例35.求证例36.已知,求证: 例37.已知,求证:例38.若,求证:.例39.已知,求证:.例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,例41. （2007年东北三校）已知函数（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；（2）令求证：★例42. (2008年江西高考试题)已知函数,.对任意正数,证明：．例43.求证:十、 二项放缩,, 例44. 已知证明 例45.设，求证：数列单调递增且 补：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题） 例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：例47.设，求证.例48.求证:.补.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数，满足：①对任意，都有；②对任意都有.（I）试证明：为上的单调增函数；（II）求；（III）令，试证明：.例49. 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且满足下列条件：① 对于任意[0,1]，总有，且；② 若则有（Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）求证：f(x)≤4；（Ⅲ ）当时，试证明：.例50. 已知： 求证：十一、 积分放缩利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在上的可积函数，则. 例51.求证：.利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例52. 求证：，.例53. 已知.求证：.例54. （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）当时，证明.技巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：①；②；③；④.十二、 部分放缩(尾式放缩)例55.求证: 例56. 设求证：例57.设数列满足，当时证明对所有 有； 十三、 三角不等式的放缩例58.求证:. 十四、 使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.例59.求证:对一切,都有. (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明,只要证明:.例60.已知数列满足:,求证: 引申:已知数列满足:,求证: . 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,.记,.求证:当时.(1); (2); ★(3). 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,． (1)证明:对任意的,,; (2)证明:. 十四、 经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:. 探究2.(2008年全国二卷)设函数.如果对任何，都有，求的取值范围． 变式训练：若,其中且,,求证:.★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围. 放缩技巧总结---教案证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以技巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以 从而例7.已知,,求证:证明: ,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例10.求证: 解析:提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 。