模块基本信息 一级模块名称微分学二级模块名称基础模块 三级模块名称泰勒公式模块编号3-3 先行知识微分及其应用模块编号2-12 知识内容教学要求掌握程度1、泰勒定理1、理解泰勒定理熟悉、熟记2、常见的几种泰勒公式2、掌握并熟记常见的 几种泰勒公式3、泰勒公式求极限3、会用泰勒公式求极 限能力目标1、培养学生的逻辑思维能力 2、培养学生的计算能力 时间分配90 分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青二次修订王明一、正文编写思路及特点思路： 以近似计算引入，讨论如何提高近似计算的精度及估计误差 进而介绍泰勒定理， 接着推导出几种常见的泰勒公式，最后利用泰勒公 式求解极限、求导及证明 特点：通过泰勒定理推出几种常见的泰勒公式，并利用公式求解函 数的极限，由此层层递进，便于学生理解和掌握二、授课部分（一）复习引入复习微分的近似计算（二）新课讲解在微分的应用中，我们了解到，当x 很小时，有如下近似等式：1,ln(1)xexxx这些都是用一次多项式来近似表示函数的例子显然，在0x处这些一次多项式及其一阶导数的值分别等于被近似表示的函数及其导数的相应值但是我们觉得这种近似计算存在着不足之处:首先是精度不高，他所产生的误差是关于x 的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算，没办法估计误差大小。
接下来，我们来解决这个问题1. 泰勒公式的产生原理如果 f(x)在点x0处可微，则f(x)=f(x0)+f′(x0)(x x0)+o(x x0). 则若函数 f(x)在点 x0处有 n 阶导数，则可以用一个关于(x x0)的 n 次多项式来近似表示 f(x). 设高次多项式1 010100( )()()()nn nnnP xaa xxaxxaxx对其求 1 至 n 阶导数，并令0xx 可得'''( ) 0001020(),(),()2!,()!n nnnnnP xaPxa PxaPxn a再由条件()( ) 00()(),0,1,,kk nPxfxkn( ) 0 00()(),,0,1,,!kkfxaf xaknk可得(1) 10 0000()( )()()()()(1)!n n nfxP xf xfxxxxxn‘因此，() 0 0()()!n nfxxxn2. 泰勒中值定理定理 1 若 f(x)在 U(x0)内具有 n+1 阶导数，则x∈U(x0)，有f(x)=( ) 0 0 0()()( )!kn k n kfxxxRxk, (1) 其中 Rn(x)=o((x x0)n)，且(1) 100 0(())( )()(1)!n n nfxxxR xxxn, 0＜θ ＜1. (2) 其中，公式 (1)称为 f(x)在点 x0的 n 阶泰勒公式，式中Rn(x)称为余项. 式(2)称为拉格朗日余项，Rn(x)=o((x x0)n) （3）式(3)称为皮亚诺 (Peano) 余项. 注： （1）( ) 0 0 0()( )()!kn k n kfxP xxxk称为 n 阶泰勒多项式 . （2）若x∈U(x0)，有(1)( )nfxM，则可得误差估计式10( )( )( )(1)!nnnMRxf xPxxxn. （3）拉格朗日中值公式是带拉格朗日余项的零阶泰勒公式，泰勒中值定理也是拉格朗日中值定理的推广. （4）若取00x则泰勒公式又称为麦克劳林公式. 3. 常见的泰勒公式注：以下例题只需讲解一个即可，其他只需要记住结果。
例 1 求 f(x)=ex的带有皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式 .（一级）解f (k)(x)=ex，f(k)(0)=1(k=0，1，2，⋯).ex=2 1()2!!n nxxxo xn. 其拉格朗日余项为1e( )(1)!x n nR xxn,θ ∈(0,1). 例 2 求 f(x)=sinx 的带有皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式 .（一级）解f (k)(x)=πsin()2xk(k=0，1，2，⋯) ，故( )0,2(0)( 1) ,21k jkjfkj(j=0，1，2，⋯) . 取 n=2m，得sinx=3521 12( 1)()3!5!(21)!m mmxxxxo xm. 其拉格朗日余项为21 2(21)πsin2( )(21)!m mmxRxxm21cos( 1)(21)!mmxxm，θ ∈(0，1). 类似地有cosx=242 211( 1)()2!4!(2)!m mmxxxo xm，其拉格朗日余项为122 21cos( )( 1)(22)!mm mxRxxm, θ ∈(0,1). 例 3 求 f(x)=ln(1+x) 的带有拉格朗日余项的n 阶麦克劳林展开式 . （一级）解()1(1)!( )( 1)(1)kk kkfxx，(k=1,2,⋯),故 f(k)(0)=( 1)k 1(k 1)! (k=1,2,⋯,n). 又f(0)=0,f(n+1)(ξ )1!( 1)(1)nn,其中， ξ 在 0 与 x 之间.于是,当 x∈( 1,+∞)时, ln(1+x)=2341 1 1( 1)( 1)2!3!4!(1)(1)nn nn nxxxxxxnn, 其中 ξ 在 0 与 x 之间. 211(1)(1)(1)1+1( )2!! (1)(1)()( )(1)(01)(1)!n nnn nnxxxxRxn nnRxxxn再有，（）例 4 求函数( )lnf xx按(x-2)的幂展开的带有皮亚诺余项的n 阶泰勒公式 .（一级）解因为23 1ln(1)( 1)()23n nnxxxxxo xn2( )lnln[2(2)]ln 2ln[1]2xf xxx23 132(2)(2)(2)ln 2( 1)((2) )28(32 )(2 )n nnnxxxxoxn4. 泰勒公式的应用（1）利用泰勒公式求极限 . 例 5求极限2240coselimxxxx.（三级）解利用泰勒公式 ,有cosx=24 41()2!4!xxo x, 2222 421e1()2!2!2!xxxo x, 于是24421cose()12x xxo x. 所以244 244001()cose112limlim12xxxxo xxxx. （2）利用泰勒公式求导数 . 例 6 设函数2cos ln(1)( )xxf xx，求(3)(0)f（三级）解因为cosx=24 41()2!4!xxo x2345 5ln(1)()2345xxxxxxo x242345 452[1()][()]2!4!2345( )xxxxxxo xxo xx f xx所以235 5 3 323()132640()2640xxxo xxxo xx由泰勒公式中系数的定义有(3)(0)33!40f(3)9(0)20f可得（3）利用泰勒公式证明不等式（*）例 7 设函数 f(x)在区间 (a,b)内二阶可导，且''( )0fx，证明：对于(a,b)内的任意两点，有12 121()[()()]22xxffxfx（三级）证设12,x x 是 区 间 (a,b) 内 的 任 意 两 点 ， 那 么f(x) 在 点0121()2xxx处的一阶泰勒公式为2 000001( )()'()()''( )()()2!f xf xfxxxfxxxx2 1001010101()()'()()''( )()()2!f xf xfxxxfxxxx2 2002020201()()'()()''( )()()2!f xf xfxxxfxxxx两式相加可得21212 12121()()2()[''()''()]()222xxxxf xfxfff''( )0fx因为所以12 121()[()()]22xxff xf x几个常见的泰勒公式：e1＜ ＜23 (),2!3!!xnxxxxx n＜ ＜35211( 1),3!5!(21)i!s n()nnxxxxnxxcos＜ ＜242 1( 1),2!4!(2 )!()n nxxxxx nln1112341 ( 1)2341()n nxxxxxxxn2(1)(1)(1)(1)1!!()2nnxxxxnx11三、能力反馈部分1、 （考查泰勒公式的应用） （三级）（1）求极限2220coslim[ln(1)]xxxe x xx(2) (3)sin x(=e(0)f xf设函数），求。