2021年数学（二）真题解析一、选择题一、选择题（1） 【答案】【答案】（C）.【解】 【解】 由| （e l）d?| t3 dt =j;8 （j： 0）得| （e l）d?为才的高阶无穷小,J o J o 4 J o应选（C）.（2） 【答案】【答案】（D）.eJ 1【解】 【解】 因为lim/（j?） = lim-= 1 = /（0）,所以在工=0处连续；j-* 0 x-*O JCe 一 1因为 lin/S4)=lim 工X-*O x jr-* 0 xi e 1 一 x e 1 1 ZH-=lim-2-= hm z-= 4#X-*O X X-*O Lx Z”（ * 工0,应选（D）.（3）【答案】【答案】（C）.【解】 【解】 设圆柱体的底面半径为r（t）,高为h，且字=2,学=3,At （ （t圆柱体的体积为V（t）=兀厂2/1,表面积为SCt） = 2兀厂2 + 2nr h ,mi dV n dr 2 dA dS dr dr dh贝1J = Litrh -jcr , = 4兀厂 - Z7t/i -卜 2jcr ,d/ d/ At At dz dz dz代人 r =10,/z = 5, = 2, = 3 得，丁 = 100k， =40兀，应选（C）. d/ dt At dr【答案】【答案】（A）.【解】 【解】 因为f（ （.X ） = ax bn x有两个零点，所以由罗尔定理，存在c C （0,+产），使得y（c） = a 一 = 0 ,从而 b =ac 0.cbax=0得ba因为f d = l 0 ,所以x =为函数f (x) =ax bin j：的极小值点，极小值为x a/仔)sbln”b(l 1),又 /X0 + 0)=+OO9/X+OO)=+OO9所以) =ax bn X有两个零点等价于b (1 In ) e,应选(A). a a【答案】【答案】(D).【解】【解】fQx = sec x tan x ,/z (0) = 0, 厂(工)=sec2 j? tan x + sec3 j? ,/(0) = 1, 则 a =/z(0) =0,6 = =，应选(D).2021年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 1 页，共 7 页(6) 【答案】【答案】(C).【解】【解】+ 1 ) =x Cx + l)2两边对z求导得+ 1 ,e ) + ex ff2( (.x + 1 ,e* ) = (z + 1 )2 -2xx + 1) 取工=0,得兀(i,i)+y2(i,i)=1；/(a: ,j:2) =2j：2ln x两边对工求导得2 ) + 2工 f 2(工，攵 $)= 4工 In 工 + 2工，取工=1,得 托(1,1) +2兀(1,1) =2, 解得兀(1,1) =0,兀(1,1) =1,故 d/(l,l) =dy ,应选(C).(7) 【答案】【答案】(E).应选（E）.（8）【答案】【答案】（B）.【解】 【解】 由题可得/（Z 1 ,攵2，乞3）=2云+ 2乂 1工2 + 2工1工3 +2孔工3， ，I01令A = 1241A - 1 - 11 0 0由 |AE-A1 =-1 A - 2 - 1=(A +1)-1 A - 2 - 2=(A +1)(A2 3A ) =0,-1 - 1 A-1 - 1 A - 1得入1 = 一 1,入2 =0,入3 = 3,应选(E).(9)【答案】【答案】(D).【解】 令佝=k nPx +&1202 +珞303 。
2 =怡 2101 十& 2202 +怡 2303 3 =爲101 + 怡 3202 + 爲303，若 B X0 =0,从而 AtX0 =KtBX0 =0,b iib 2ib 31 即 A = (01 .02 ,03) )”12k 22b 32=(卩卩23) )K =BK,AT =Kt= KB,l】3b 23b 33 即B X =0的解均为X =0的解，应选（D）.（10）【答案】【答案】（C）.【解】【解】12-31230-120-12102-10 ,(A)不对-12q01,（B）不对；00 应选（C）.2021年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 2 页，共 7 页（11）【答案】丽.【解】【答案】丽.【解】o In 32(12) 【 【答案】 【解】【解】兽=船=普=血，dj? djc / ck 2e + 1 dj_ d(2/)/dt_ 2 d2y I =Adx2 dr / dt 2e + 1 dx2 I 011ex 1 sin x=limX0sin jc 一 + 1 (eJ l)sin xlimr f 0sin jc 一 e + 1 1 v cos x 一 eJ-2-=Tlin?JQ Li H f 0 x2021年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 4 页，共 7 页1 +1122lim( sin x er ) =-得Z 工-* o 2limj-oe,2dt0eJ - 1sm x= 1_I = T方法三由泰勒公式得/从而z z2e dt =x0=1+ 厂 + O （厂）93+ -。
工3）9于是有1 +limj- -o工.2M dt01sin x=lim_Zf 0limJ-*O31 + X-o (工3 )1sin xlimrf 01 + JCex 一 1 sin x1+釧土01sin xi sin e e + 1=1 + lim -:-工一0 (er 一 1) sin x1 + limx-* 0sin j; e +1 1 .-2-= 1 十 limX * 0cos X1 + lim工0一 sin x 一 eJ 12（18）【解】 【解】 函数y（x ）的定义域为（一9 1） 乂 21十J X 21 +工（1+当工 0且工工一1时，/（.）U ( 1, +*),z V 0 且 jc 工一 19z $ 0.2(1+2当工0时，/&）JC2T+ X1+工（19）【解】【解】z2 + 2z（1 +工）2 、 （1 +，当 z w （-00,-1）时/（_z）0；当工 6 （-1,0）时,/ （工）VO；当工 6 （0, +*）时, /（工） 0,故（*, 1）及（0,十8）为曲线的凹区间，（一1,0）为曲线的凸区间.因为lim f （工）=,所以x = 1为曲线的铅直渐近线；Z f1由 lim ）= 一 1, lim /（x ） +无= lim （工 8 工 OO 工 _OO 为曲线的一条斜渐近线；f （无）由 lim -= 1, lim /（jc ） = limJ. -j-OO JQ 工_+8 工+8为曲线的另一条斜渐近线.qd_Z =扛2 工+C两边对工求导得42=宁1,6 ，/T 31 得;y =工 +1x 21 +工r=lim工_+oo 1十工1得夕=力137从而/(jr ) = +工 191 2021年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 5 页，共 7 页6 6(20)【解】【解】(I)由 xyr 63/ = 6 得3/-y =-，解得x JC夕=(|)eHdJ dx 十 C J =E + 1, 由 J/(V3 ) =10 得 C =y ,故夕=+工& + 1.(n)设P (a- ,y)为曲线y = 6 + 1上的一点，则法线方程为取X =0得法线在y轴上的截距为Ip=0得工=1(工=一 1舍去)9当0V VI时，轨0,当工1时，扫P 0,故IP在工=1时有极小值，此时P点的坐标为(1,*) , P =石x = rcos 9 , / 兀 一 ,- .(21)【解】【解】令 o W0 w ,0 w Y Mcos 20 ,则y = rsin 0 4Vcos 200do厂3sin 0cos 9dr1 f y f J cos 2E 1 C y= sin 20I r3dr = sin 20cos22(9d(92 J 0 Jo o J 0-a” 1 1 I 1=-4 cos22(9d(cos 26) = cos3 2 .16J o 16 3 I o 48(22)【解】【解】A 2 1由 |AE-A |= - 1 A -21 一 a00 -(A2 -4A +3)(A -6) = 0 得-b特征值 A j = 1 ,A 2 = 3 ,A 3 =b.情形一 = 1因为A相似于对角矩阵，所以r(E-A)=l, 192 2021年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 6 页，共 7 页，故 a = 1.-1r1-10而 E - A = - 110卜-0a 一 101一 aJ 000丿由F:o 0oj得入=1的线性无关的特征向量为aj 1 j ,a2o 0 情形二=3/ 1-1 0(1 0由 3E - A =T1 0卜I0 11-12丿001I1令卩=101 ,贝U P AP=0 01I1o-1得入=3的特征向量为a3 = 110 10 01 0 .0 3/因为A相似于对角矩阵，所以r(3E-A)=l,而 3E - A-1 - 1 0I1-1-1 1 0 -A O一 a 一 10，故 a =-l1 a o0o由口1-1 0 /I 0-1 0011 一2 o 00 oj得入=3的线性无关的特征向量为a2 = ，a3 = |o o 1o 01I100令卩=11，则 P AP = 030 10Jo03 193 2021年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 7 页，共 7 页。