第7课：柱体和锥体教学目标1、理解多面体的定义，理解多面体的构成元素面、棱和顶点的定义；2、理解棱柱、棱锥及其底面、侧面、侧棱、高的定义；3、理解圆柱、圆锥及其底面、侧面、母线、高的定义；4、理解祖暅原理，并能对该知识点进行解释和探究；5、熟记柱体、椎体的体积公式、表面积公式，并能准确解决相应的数学问题；重 点1、理解祖暅原理，并能对该知识点进行解释和探究；2、熟记柱体、锥体的体积公式，并能准确解决相应的数学问题；3、熟记圆锥的表面积公式，会用侧面展开图的思想去求相应柱体的侧面积.难 点理解祖暅原理，并能对该知识点进行解释和探究；（一）棱柱与圆柱知识梳理1、多面体定义：由三角形或（平面多边形）围成的封闭几何体称为多面体；构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面；相邻面的公共边称为多面体的棱；棱与棱的交点称为多面体的顶点2、棱柱定义：有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都互相平行，我们把这样的多面体叫做棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，否则称为斜棱柱；棱柱常用表示两底面多边形的记号（顶点相应排列）再用短横连接来记．例如，图三棱柱1可记为棱柱，六棱柱3可记为棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱通常又可按照棱柱底面的多边形的边数把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等．例如，图（1）是三棱柱，又因为它的侧棱不垂直于底面，所以是斜三棱柱；（2）是四棱柱，又因为侧棱垂直于底面，所以是直四棱柱；（3）的底面是正六边形，侧棱又垂直于底面，所以是正六棱柱．【知识补充】①底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形，该棱柱叫做平行六面体。
②{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}；③{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.3、圆柱定义：将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，所在直线叫做该圆柱的轴，线段和分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的底面，线段旋转而成的曲面叫做该圆柱的侧面，叫做该圆柱的母线，圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高．根据圆柱的形成过程易知：①圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；②圆柱有两个相互平行的底面.棱柱和圆柱统称为柱体.例题精讲【例1】（1）下列命题正确的是（ ）A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱都相等C．由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图D．棱柱的侧棱总与底面垂直（2）“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【例2】如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）A． B．C． D．【例3】一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【例4】如图所示，长方体中，，，，在长方体表面上由A到的最短距离是________.巩固训练1、如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．32、给出下列命题：（1）底面是矩形的平行六面体是长方体；（2）底面是正方形的直平行六面体是正四棱柱；（3）底面是正方形的直四棱柱是正方体；（4）所有棱长都相等的直平行六面体是正方体．以上命题中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．43、长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体对角线长是（ ）A． B．3 C． D．4、“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm），则三视图中，两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（ ）（，）A．8.4 B．9.8 C．10.4 D．11.25、直三棱柱的侧棱，底面中，，，则点到平面的距离为 A． B． C． D．（二）柱体的体积知识梳理1、祖暅原理（卡瓦列里原理）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等.比如：取一堆书放在桌面上，将这堆书如图那样改变一下形状，这时书堆的高度没有改变，每页的面积也没有改变，这堆书的体积与变形前相等．有了祖暅原理，下面就可以方便地推导一般柱体的体积．设某个棱柱的底面积是，高是．为了计算它的体积，我们先构造一个底面积为，高为的长方体，然后把棱柱和长方体同时置于两个平行平面之间依据棱柱的定义，用平行于底面的任意平面去截棱柱所形成的截面与底面多边形全等，面积自然也相等．这样，由祖暅原理可以得到一般棱柱的体积公式：同理：例题精讲【例5】（1）一张长、宽分别为、的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它卷成圆柱，则此圆柱的体积为 ．（2）如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，则水面的高为（ ）A．2 B． C．3 D．【例6】如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【例7】已知多面体中，，，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8巩固训练1、已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 A． B． C． D．2、如图是一个长方体被一个平面截去一部分后，所得多面体的直观图，已知，，．求此多面体的体积．3、如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆柱侧面积等于．（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．4、一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）？（三）柱体的表面积知识梳理1、棱柱表面积：柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积．其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积．可得：圆柱表面积：可得：例题精讲【例8】（1）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与表面积的比是________．（2）若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A．130 B．140 C．150 D．160（3）在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比是（ ）A． B． C． D．【例9】（1）如图所示，在三棱锥中，和都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时______．（2）已知圆锥的底面半径为1，高为3，其中有一个高为的内接圆柱.①求圆锥的侧面积；②当为何值时，圆柱的全面积最大？并求出该最大值.巩固训练1、若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：12、正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（ ）A． B． C． D．3、正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）A． B． C． D．（四）棱锥与圆锥知识梳理1、棱锥定义：如下图，可以发现它们有如下的共同特征：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥．其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面；其余的面称为棱锥的侧面；不在底面上的棱称为棱锥的侧棱；所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点；顶点到底面的距离叫做棱锥的高；如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥.棱锥常用表示其顶点的字母与表示其底面多边形的记号之间加短横来记，例如，左图第一个可记为，左边的六棱锥可记为．2、圆锥定义：将直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥．其中，所在直线叫做圆锥的轴，点叫做圆锥的顶点，直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边叫做圆锥的母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即犃犗的长度）叫做圆锥的高．圆锥可用表示顶点的字母与表示底面圆心的字母之间加短横来记，如左图圆锥可记为圆锥【性质】根据圆锥的形成过程易知：①圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；②每条母线与轴的夹角都相等.3、台体定义：把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体．如下图所示；大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台．由圆锥的形成过程，容易看出圆台是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体．类似地，如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台．其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台．与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形.例题精讲【例10】（1）给出下列命题：①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的是 ．（2）给出下列命题：①用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是________（只填序号）．【例11】（1）用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是（ ）A． B． C． D．（2）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）①三角形；②四边形；③五边形．【例12】如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为的正三角形，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．（结果不取近似值）巩固训练1、下列说法不正确的是（ ）A．用一个平面截一个球，得到的。
