直观图面积问题直观图中的面积问题内蒙古 熊明军 辽宁 曾玲莉直观图是对空间几何体的整体刻画， 人们能够依据直观图的构造想象实质物体的形象， 掌握直观图的画法是学好立体几何的基础 在直观图的学习中， 熟记斜二侧画法的作图原理是一定的， 但关于直观图的面积问题，我们无需作出图形， 可直接利用经验公式：S直观图2S原图4加以解决下边对此中常有的几类面积问题举例分析，希望能对同学们的学习有所帮助一、经验公式的获取假定给定一个边长为 a 的正方形 ABCD ，能够求得其斜二测画法下的直观图面积与平面直角坐标系下正方形面积之比为2 4AyBA'B'xD C D' E' C' / 如左图：在平面直角坐标系下，明显由斜二测画法作图原理知：在右图中S正方形a 2 ；A' D'a ， A' D ' E'45 ，2A' E' D' E' ，即在等腰 Rt A' D ' E' 中 A' E' D ' E '2a ，得 S直观图2a2 44进而有： S直观图S直观图2 a22 4S原图S正方形a24本文在此不议论纯理论性的东西， 也就不再对该经验公式进行一般性的证明可是实质上我们能够获取， 只假如以斜二侧画法原理为前提作出的直观图其面积都知足该公式。
二、已知原图面积，求直观图面积例 1、已知某四边形 ABCD 的面积为 2 2 ，试求其在斜二测画法下作出的直观图的面积分析】本题告诉的已知四边形没有明确的特点， 所以其直观图利用斜二侧画法是没法作出的 可是，依据经验公式 S直观图2 可得：S原图4S直观图2S直观图，即 S直观图222 1四边形42 24S三、已知直观图面积，求原图面积例 2、已知 ABC 在斜二测画法下作出的平面直观图 A' B'C ' 是边长为 a 的正三角形，试求 ABC 的面积分析】题中所给的条件能轻易地确立ABC 直观图A' B'C'的132S2面积， S直观图S A'B 'C 'asin 60；依据经验公式直观图aaS原图424S直观图4S直观图4S A'B'C'43 a26 a2 可知 S原图2222424例 3、如下图，梯形 ABCD 是某一平面图形在斜二测画法下作出的直观图若 AB2， ADOD 1，CD3 AB ，而且 AB∥ DC ， AD2平行于 y 轴，求原图面积yC DxBOA【分析】假如依据斜二侧画法的原理来分析，进而得出原图形，也是能够求解，但利用经验公式 S直观图2 就免除了复杂的作图过程。
S原图4直接由题中已知条件即可求出在斜二测画法下作出的直观图面积， 由S原图4S直观图 求解即可2四、利用经验公式求解有关问题例 4、平面直角坐标系下的正方形ABCO ，此中 O 为坐标原点，B 点坐标为 2,2 ，试求其直观图中定点 B' 到 x' 的距离分析】正方形在斜二测画法下作出的直观图是平行四边形， 无需作图，直接利用经验公式便能很快求解已知 S原图2 24 ；其在斜二测画法下作出直观图平行于x 轴的长度不变，设点 B' 到 x' 的距离为 h ，则由 S直观图2 的变形 S直观图2 S原图原图44S24，即 h2 知 2 h42用斜二测画法下作出平面直观图的作图原理一定掌握， 但关于某些题型，能不作图就不作，直接利用经验公式求解显得更快捷方便。