8.5椭圆椭圆第八章第八章2022课标要求1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.3.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质,并能灵活运用.备考指导椭圆是高考中特别重要的内容,每年必考,甚至在解答题和客观题型中同时出现.关于椭圆的解答题具有较强的综合性,客观题为中等难度.在近几年的高考中,椭圆的考查方式越来越灵活.本节要注意椭圆的生成过程和实际应用问题,常用的方法有定义法、公式法、代入法、待定系数法、点差法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.内容索引010203第一环节必备知识落实第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实第一环节必备知识落实【知识筛查知识筛查】 1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.温馨提示若F1,F2为两个定点,点M满足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数,则有如下结论:(1)若ac,则点M的轨迹为椭圆;(2)若a=c,则点M的轨迹为线段;(3)若ac,则点M的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质 问题思考(1)点和椭圆的位置关系有几种?如何判断?(2)直线与椭圆的位置关系有几种?如何判断?直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交.判断方法为联立直线方程与椭圆方程,若消元后所得一元二次方程的判别式为,则直线与椭圆相离0.【知识巩固知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(4)椭圆的离心率e越大,椭圆越圆;e越小,椭圆越扁.()(5)方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.() CB由题意及椭圆的定义可得,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a.|AB|=|AF1|+|BF1|,ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,解得a=2.故选B.ACD设椭圆的左焦点为F,因为|AF|=|BF|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=6,故A正确;ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,因为|AF|+|BF|=6,|AB|(0,6),所以ABF的周长的取值范围为(6,12),故B错误;第二环节关键能力形成第二环节关键能力形成能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1椭圆的定义及应用C能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4(2)一动圆与圆A:x2+y2+6x+5=0及圆B:x2+y2-6x-91=0都内切,则动圆圆心的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆A由已知得圆A的标准方程为(x+3)2+y2=4,圆B的标准方程为(x-3)2+y2=100.设动圆的半径为r,动圆圆心为P,因为动圆与圆A及圆B都内切,所以|PA|=r-2,PB=10-r.所以|PA|+|PB|=8|AB|=6.所以动圆圆心的轨迹为椭圆.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4(3)设F1,F2分别为椭圆 的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为.-5 由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=10-|PF2|.则|PM|-|PF1|=|PM|-(10-|PF2|)=|PM|+|PF2|-10|MF2|-10,当且仅当点P段MF2上时取等号.故|PM|-|PF1|5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5. 能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4解题心得1.椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.有时需要结合椭圆的定义和余弦定理,求解关于焦点三角形的周长和面积的问题.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4对点训练1(1)如图,一圆形纸片的圆心为O,半径为R,F为圆内一定点,M为圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后复原,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆A由题意知,CD是线段MF的垂直平分线,|PM|=|PF|,|OF|OF|.点P的轨迹为椭圆.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4C能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4(3)已知点P为椭圆 上一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+ y2=1上的动点,则|PM|+|PN|的取值范围为.7,13 依题意,椭圆 的左、右两个焦点分别为圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1的圆心,因此(|PM|+|PN|)max=25+3=13,(|PM|+|PN|)min=25-3=7.故|PM|+|PN|的取值范围为7,13.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点2椭圆的标准方程命题角度命题角度1 用用定义法求椭圆的标准方程定义法求椭圆的标准方程D能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4(2)在ABC中,点A(-4,0),B(4,0),ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是()A由已知得|AC|+|BC|=18-8=108,则顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,不包含x轴上的两点.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4命题角度命题角度2 用用待定系数法求椭圆的标准方程待定系数法求椭圆的标准方程能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4解题心得1.求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.2.利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a|F1F2|,同时也要明确椭圆标准方程的形式;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4对点训练2(1)已知点A(-1,0),B是圆F:x2+y2-2x-11=0上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为()D能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4(2)如图,已知椭圆C的中心为原点O, 为椭圆C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()C能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4(3)已知一个椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦点F1,F2在x轴上, 为该椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该椭圆方程为.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点3椭圆的几何性质命题角度命题角度1 求求离心率的值离心率的值(或取值范围或取值范围)例4(1)已知O为椭圆C的中心,F为椭圆C的一个焦点,点M在椭圆C外, ,经过点M的直线l与椭圆C的一个交点为N,MNF是有一个内角为120的等腰三角形,则椭圆C的离心率为()B能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4命题角度命题角度2 求求参数的值参数的值(或取值范围或取值范围)例5设A,B是椭圆C: 长轴的两个端点,若椭圆C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4解题心得1.求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4对点训练3 D能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4B能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)3,当且仅当直线l与x轴垂直时,等号成立.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点4直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆过椭圆M的右顶点C,求ABC面积的最大值.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4解题心得1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简成一元二次方程,再应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.2.设斜率为k(k0)的直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4对点训练4 (1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m(k0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点(1,0),求实数k的取值范围.能力形成点能力形成点1 1能力形成点能力形成点2 2能力形成点能力形成点3 3能力形成点能力形成点4 4第三环节学科素养提升第三环节学科素养提升思想方法思想方法设而不求之点差法在椭圆中的应用设而不求之点差法在椭圆中的应用答案:B 解题心得点差法具有不等价性,使用时要注意直线和圆锥曲线是否有交点.有些题目从题干中就很容易判断这一条件是否满足,如典例2;但有些则没有明确这一。