Table of spherical harmonics This is a table of orthonormalized spherical harmonics that employ the Condon-Shortley phase up to degree l = 10. Some of these formulas give the “Cartesian” version. This assumes x, y, z, and r are related to θ and φ through the usual spherical-to-Cartesian coordinate transformation: x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ 1Spherical harmonics 1.1l = 0[1] Y 0 0(θ,φ) = 1 2 √ 1 π 1.2l = 1[1] Y −1 1 (θ,φ) = 1 2 √ 3 2π · e−iφ· sinθ= 1 2 √ 3 2π · (x − iy) r Y 0 1(θ,φ) = 1 2 √ 3 π · cosθ= 1 2 √ 3 π · z r Y 1 1(θ,φ) = −1 2 √ 3 2π · eiφ· sinθ=−1 2 √ 3 2π · (x + iy) r 1.3l = 2[1] Y −2 2 (θ,φ) = 1 4 √ 15 2π · e−2iφ· sin2θ= 1 4 √ 15 2π · (x − iy)2 r2 Y −1 2 (θ,φ) = 1 2 √ 15 2π · e−iφ· sinθ · cosθ= 1 2 √ 15 2π · (x − iy)z r2 Y 0 2(θ,φ) = 1 4 √ 5 π · (3cos2θ − 1)= 1 4 √ 5 π · (2z2− x2− y2) r2 Y 1 2(θ,φ) = −1 2 √ 15 2π · eiφ· sinθ · cosθ= −1 2 √ 15 2π · (x + iy)z r2 Y 2 2(θ,φ) = 1 4 √ 15 2π · e2iφ· sin2θ= 1 4 √ 15 2π · (x + iy)2 r2 1 21SPHERICAL HARMONICS 1.4l = 3[1] Y −3 3 (θ,φ) = 1 8 √ 35 π · e−3iφ· sin3θ= 1 8 √ 35 π · (x − iy)3 r3 Y −2 3 (θ,φ) = 1 4 √ 105 2π · e−2iφ· sin2θ · cosθ= 1 4 √ 105 2π · (x − iy)2z r3 Y −1 3 (θ,φ) = 1 8 √ 21 π · e−iφ· sinθ · (5cos2θ − 1)= 1 8 √ 21 π · (x − iy)(4z2− x2− y2) r3 Y 0 3(θ,φ) = 1 4 √ 7 π · (5cos3θ − 3cosθ)= 1 4 √ 7 π · z(2z2− 3x2− 3y2) r3 Y 1 3(θ,φ) = −1 8 √ 21 π · eiφ· sinθ · (5cos2θ − 1)= −1 8 √ 21 π · (x + iy)(4z2− x2− y2) r3 Y 2 3(θ,φ) = 1 4 √ 105 2π · e2iφ· sin2θ · cosθ= 1 4 √ 105 2π · (x + iy)2z r3 Y 3 3(θ,φ) = −1 8 √ 35 π · e3iφ· sin3θ= −1 8 √ 35 π · (x + iy)3 r3 1.5l = 4[1] Y −4 4 (θ,φ) = 3 16 √ 35 2π · e−4iφ· sin4θ = 3 16 √ 35 2π · (x − iy)4 r4 Y −3 4 (θ,φ) = 3 8 √ 35 π · e−3iφ· sin3θ · cosθ = 3 8 √ 35 π · (x − iy)3z r4 Y −2 4 (θ,φ) = 3 8 √ 5 2π · e−2iφ· sin2θ · (7cos2θ − 1) = 3 8 √ 5 2π · (x − iy)2· (7z2− r2) r4 Y −1 4 (θ,φ) = 3 8 √ 5 π · e−iφ· sinθ · (7cos3θ − 3cosθ) = 3 8 √ 5 π · (x − iy) · z · (7z2− 3r2) r4 Y 0 4(θ,φ) = 3 16 √ 1 π · (35cos4θ − 30cos2θ + 3) = 3 16 √ 1 π · (35z4− 30z2r2+ 3r4) r4 Y 1 4(θ,φ) = −3 8 √ 5 π · eiφ· sinθ · (7cos3θ − 3cosθ) = −3 8 √ 5 π · (x + iy) · z · (7z2− 3r2) r4 Y 2 4(θ,φ) = 3 8 √ 5 2π · e2iφ· sin2θ · (7cos2θ − 1) = 3 8 √ 5 2π · (x + iy)2· (7z2− r2) r4 Y 3 4(θ,φ) = −3 8 √ 35 π · e3iφ· sin3θ · cosθ = −3 8 √ 35 π · (x + iy)3z r4 Y 4 4(θ,φ) = 3 16 √ 35 2π · e4iφ· sin4θ = 3 16 √ 35 2π · (x + iy)4 r4 1.6l = 5[1] Y −5 5 (θ,φ) = 3 32 √ 77 π · e−5iφ· sin5θ Y −4 5 (θ,φ) = 3 16 √ 385 2π · e−4iφ· sin4θ · cosθ Y −3 5 (θ,φ) = 1 32 √ 385 π · e−3iφ· sin3θ · (9cos2θ − 1) Y −2 5 (θ,φ) = 1 8 √ 1155 2π · e−2iφ· sin2θ · (3cos3θ − cosθ) 1.7l = 63 Y −1 5 (θ,φ) = 1 16 √ 165 2π · e−iφ· sinθ · (21cos4θ − 14cos2θ + 1) Y 0 5(θ,φ) = 1 16 √ 11 π · (63cos5θ − 70cos3θ + 15cosθ) Y 1 5(θ,φ) = −1 16 √ 165 2π · eiφ· sinθ · (21cos4θ − 14cos2θ + 1) Y 2 5(θ,φ) = 1 8 √ 1155 2π · e2iφ· sin2θ · (3cos3θ − cosθ) Y 3 5(θ,φ) = −1 32 √ 385 π · e3iφ· sin3θ · (9cos2θ − 1) Y 4 5(θ,φ) = 3 16 √ 385 2π · e4iφ· sin4θ · cosθ Y 5 5(θ,φ) = −3 32 √ 77 π · e5iφ· sin5θ 1.7l = 6 Y −6 6 (θ,φ) = 1 64 √ 3003 π · e−6iφ· sin6θ Y −5 6 (θ,φ) = 3 32 √ 1001 π · e−5iφ· sin5θ · cosθ Y −4 6 (θ,φ) = 3 32 √ 91 2π · e−4iφ· sin4θ · (11cos2θ − 1) Y −3 6 (θ,φ) = 1 32 √ 1365 π · e−3iφ· sin3θ · (11cos3θ − 3cosθ) Y −2 6 (θ,φ) = 1 64 √ 1365 π · e−2iφ· sin2θ · (33cos4θ − 18cos2θ + 1) Y −1 6 (θ,φ) = 1 16 √ 273 2π · e−iφ· sinθ · (33cos5θ − 30cos3θ + 5cosθ) Y 0 6(θ,φ) = 1 32 √ 13 π · (231cos6θ − 315cos4θ + 105cos2θ − 5) Y 1 6(θ,φ) = −1 16 √ 273 2π · eiφ· sinθ · (33cos5θ − 30cos3θ + 5cosθ) Y 2 6(θ,φ) = 1 64 √ 1365 π · e2iφ· sin2θ · (33cos4θ − 18cos2θ + 1) Y 3 6(θ,φ) = −1 32 √ 1365 π · e3iφ· sin3θ · (11cos3θ − 3cosθ) Y 4 6(θ,φ) = 3 32 √ 91 2π · e4iφ· sin4θ · (11cos2θ − 1) Y 5 6(θ,φ) = −3 32 √ 1001 π · e5iφ· sin5θ · cosθ Y 6 6(θ,φ) = 1 64 √ 3003 π · e6iφ· sin6θ 41SPHERICAL HARMONICS 1.8l = 7 Y −7 7 (θ,φ) = 3 64 √ 715 2π · e−7iφ· sin7θ Y −6 7 (θ,φ) = 3 64 √ 5005 π · e−6iφ· sin6θ · cosθ Y −5 7 (θ,φ) = 3 64 √ 385 2π · e−5iφ· sin5θ · (13cos2θ − 1) Y −4 7 (θ,φ) = 3 32 √ 385 2π · e−4iφ· sin4θ · (13cos3θ − 3cosθ) Y −3 7 (θ,φ) = 3 64 √ 35 2π · e−3iφ· sin3θ · (143cos4θ − 66cos2θ + 3) Y −2 7 (θ,φ) = 3 64 √ 35 π · e−2iφ· sin2θ · (143cos5θ − 110cos3θ + 15cosθ) Y −1 7 (θ,φ) = 1 64 √ 105 2π · e−iφ· sinθ · (429cos6θ − 495cos4θ + 135cos2θ − 5) Y 0 7(θ,φ) = 1 32 √ 15 π · (429cos7θ − 693cos5θ + 315cos3θ − 35cosθ) Y 1 7(θ,φ) = −1 64 √ 105 2π · eiφ· sinθ · (429cos6θ − 495cos4θ + 135cos2θ − 5) Y 2 7(θ,φ) = 3 64 √ 35 π · e2iφ· sin2θ · (143cos5θ − 110cos3θ + 15cosθ) Y 3 7(θ,φ) = −3 64 √ 35 2π · e3iφ· sin3θ · (143cos4θ − 66cos2θ + 3) Y 4 7(θ,φ) = 3 32 √ 385 2π · e4iφ· sin4θ · (13cos3θ − 3cosθ) Y 5 7(θ,φ) = −3 64 √ 385 2π · e5iφ· sin5θ · (13cos2θ − 1) Y 6 7(θ,φ) = 3 64 √ 5005 π · e6iφ· sin6θ · cosθ Y 7 7(θ,φ) = −3 64 √ 715 2π · e7iφ· sin7θ 1.9l = 8 Y −8 8 (θ,φ) = 3 256 √ 12155 2π · e−8iφ· sin8θ Y −7 8 (θ,φ) = 3 64 √ 12155 2π · e−7iφ· sin7θ · cosθ Y −6 8 (θ,φ) = 1 128 √ 7293 π · e−6iφ· sin6θ · (15cos2θ − 1) Y −5 8 (θ,φ) = 3 64 √ 17017 2π · e−5iφ· sin5θ · (5cos3θ − cosθ) Y −4 8 (θ,φ) = 3 128 √ 1309 2π · e−4iφ· sin4θ · (65cos4θ 。