行程问题思维刘有珍行程问题归纳总结解题思路 1个核心公式：路程＝速度×时间2个基本题型：相遇即合作，路程和＝速度和×时间；追及即干扰，路程差＝速度差×时间；6种常见方法：图示法、公式法、比例法、赋值法、方程法、代入法8个行程模型：火车过桥、火车运动、队伍行进、往返相遇、等距离运动、等间隔发车、 无动力漂流、流水行船精细备考 考点1：基本公式法 方：题干中等量关系明显，一般结合方程法，依据核心公式直接解题，方程往往围绕路程或时间展开 【例题1】（广州2012－84）甲公司的马经理从本公司坐车去乙公司洽谈，以30千米/时的速度出发20分钟后，马经理发现文件忘带了，便让司机以原来1.5倍的速度回甲公司拿，而他自己则以5千米/时的速度步行去乙公司结果司机和马经理同时到达乙公司甲乙两公司的距离是（ ）千米A. 12.5 B. 13 C. 13.5 D. 14［答案］A［解析］20分钟的路程为30×1/3=10千米，设马经理步行的总距离为x，则，解得x=2.5（千米），因此两地的距离为12.5千米，答案选择A例题2】（深圳2012－6）小强从学校出发赶往首都机场乘坐飞机回老家，若坐平均速度40千米/小时的机场大巴，则飞机起飞时他距机场还有12公里；如果坐出租车，车速50千米/小时，他能够先于起飞时间24分钟到达，则学校距离机场（ ）公里。
A. 100 B. 132 C. 140 D. 160［答案］C［解一］24分钟＝0.4小时，假设学校距离机场的距离为s，则，解之可得s=140答案选择C［解二］12公里所需的时间为12÷40=0.3小时，24分钟=0.4小时两次速度比为4:5，路程一定，因此时间比为5:4，两次的时间差为0.7小时，进而得到第一次所需时间为5×0.7=3.5小时，从而可以得到学校距离机场的距离为40×3.5=140公里例题3】（贵州2012－41）某部队从驻地乘车赶往训练基地，如果车速为54公里/小时，正好准点到达；如果将车速提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到；如果将车速提高1/3，可比预定的时间提前多少分钟赶到？（ ）A. 30 B. 40 C. 50 D. 60［答案］C［解析］54公里/小时=0.9公里/分钟，设准点达到的时间为t，则有：0.9t=1×（t－20）,解得t=200（分钟），所以总路程为0.9×200=180（公里）如果将车速提高1/3，则车速为0.9+0.9×1/3=1.2（公里/分钟），需要时间为180÷1.2=150（分钟），比预定的时间提前200－150=50（分钟）。
例题5】（北京2013-77）甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（ ）A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200[答案]C[解析]第一次相遇距离出发点150米，跑的快的人跑了250米，跑的慢的人跑了150米，设速度分别为250米/分、150米/分，同时同地同向出发，快的追上慢的是追及问题，路程差为400米，则追及时间为400÷（250－150）＝4分钟，进而得到速度快的路程为250×4＝1000米，答案选择C考点2：相遇追及问题 相遇：主要指迎面相遇，相遇问题研究路程和与速度和之间的关系 追及： 主要指追及相遇，追及问题研究路程差和速度差之间的关系 【例题6】（浙江2011-53）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务，甲车单独清扫需要6小时，乙车单独清扫需要9小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米，问东、西两城相距多少千米？A.60千米 B.75千米 C.90千米 D.135千米[答案]B[解析]已知甲车和乙车的时间，可以设两地的路程为18，则甲速＝3，乙速＝2，则相遇时间＝18÷（3＋2）＝3.6小时，相遇时甲乙的路程差＝（3－2）×3.6＝3.6，3.6＝15千米，所以两地相距18÷3.6×15＝75千米。
答案选择B例题7】(江苏2013C-31)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进如果每人以一定的速度前进，4小时相遇；如果各自每小时比原计划少走1千米，5小时相遇则甲乙两地的距离是？（ ）A.40千米 B.20千米 C.30千米 D.10千米[答案]A[解析]设甲乙原定速度和为x，则两次相遇所走路程和不变，即4x=5（x-2），解得x=10，进而可得两地的距离为4×10＝40，答案选择A例题8】（陕西2013-76）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的4倍，甲用时15分钟到达B地后立即返回，甲乙第二次相遇后，乙再走（ ）分钟才能到达A地A.40 B.30 C.45 D.33.3[答案]A[解析] 设乙的速度是1，甲的速度为4，则A、B两地相距60，乙到达A地需要60分钟，结合题干可知，甲、乙第二次相遇是甲追上乙的追及相遇，即路程差为60，所以追及时间为60÷（4－1）＝20分钟，乙还需要40分钟，答案选择Ａ思维小节速度单位换算：小乘大除1千米/小时＝米/秒，1米/秒＝3.6千米/小时，即“小变大乘以3.6，大变小除以3.6”【例题9】（河北2013-43）一只猎豹锁定了距离自己200米远的一只羚羊，以108千米／小时的速度发起进攻，2秒钟后，羚羊意识到危险，以72千米／小时的速度快速逃命。
问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多少路程？（ ）A. 520米 B. 360米 C. 280米 D. 240米[答案]C[解析]猎豹速度为30米/秒，羚羊速度为20米/秒，2秒钟后，猎豹的路程为60米，距离羚羊140米，进而可以得到追及时间为140÷（30－20）＝14秒，所以羚羊跑了14×20=280米答案选择C例题10】（山东2013-55）甲乙两地相距20公里，小李、小张两人分别步行和骑车，同时从甲地出发沿同一路线前往乙地，小李速度为4.5公里/小时，小张速度为27公里/小时出发半小时后，小张返回甲地取东西，并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地问小张追上小李时，两人距离乙地多少公里？A.8.1 B.9 C.11 D.11.9[答案]D[解析]小张从第一次从甲地出发到第二次从甲地出发共1.5小时，这1.5小时期间，小李一直在行走，所以可以转化成小李出发1.5小时后，小张才开始出发的追及问题设小张追上小李需要x小时， （27－4.5）x=4.5×1.5，解得x=0.3，距离乙地20－27×0.3=11.9（公里）答案选择D考点3：重点模型 模型1：队伍行进模型 队尾→队首：追及问题，S队伍＝速度差×时间＝（v1－v2）t队首→队尾：相遇问题，S队伍＝速度和×时间＝（v1＋v2）t【例题11】（安徽2012－64）一支600米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长联系，他用3分钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了2分24秒，如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间? （ ）A. 48秒 B. 1分钟 C. 1分48秒 D. 2分钟［答案］D［解析］设通讯员的速度为，队伍的速度为，2分24秒=2.4秒，由题意列方程有： ，解得=250（米/分钟），=50（米/分钟），则返回队尾所需时间为=2（分钟），答案选择D。
模型2：火车过桥火车过桥：路程＝桥长＋车长，即火车过桥路程包含两部分【例题12】（联考2012秋－47）某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需35秒，而轿车过桥的时间是动车的3倍，已知该动车的速度是每秒70米，轿车的速度是每秒21米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）？（ ）A. 120米 B. 122.5米 C. 240米 D. 245米［答案］D［解析］假设动车长是x，桥长为y，则，解之可得x=35×7=245（米），答案选择D模型3：火车头尾错离型 反向错离型：路程和＝快车车长＋慢车车长【例题13】（浙江2011-51）一列客车长250米，一列货车长350米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过15秒，已知客车与火车的速度比是5︰3，问两车的速度相差多少？A.10米/秒 B.15米/秒 C.25米/秒 D.30米/秒［答案］A［解析］反向错离题型，则两车的速度和＝（250＋350）÷15＝40米/秒，设客车的速度是5，火车的速度是3，速度和为8＝40米/秒，则速度差2＝10米/秒，答案选择A模型4：往返相遇型 往返相遇：1）迎面相遇n次，则路程和为（2n－1）个全程；2）往返相遇问题中，每个人的路程与路程和按照同样的比例变化。
如第1次相遇路程和为1个全程，第2次相遇路程和为3个全程，则其中的每个人路程变为第1次相遇时路程的3倍例题14】（联考2013春-45）小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？（ ）A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3[答案]B[解一]由题意，两人从同地出发，则第一次相遇时两人的路程和为2个全程，设其中小张走了x，小王走了y；第二次相遇时两人走了4个全长，小张走了2y，小王走了x-y；由比例法，解得x=2y，故两人的速度比为2∶1答案选择B例题15】（深圳2012－17）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的2/3，两人相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000米，求A、B两地的距离是（ ）米A. 6000 B. 6500 C. 7000 D. 7500［答案］D［解析］设两地的距离为s米，第二次相遇共走了3s米，甲速：乙速=3:2，第一次相遇时甲的路程为3/5s米，第二次相遇时甲的总路程为9/5s米，因而两次相遇的地点相距2/5s米，所以两地相距3000÷2/5=7500米，答案选择D。
模型5：等距离运动 等距离运动：平均速度；特征：“等距离”、“上下坡运动”、“往返”等字眼【例题17】（北京2014-76）某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60公里的速度前进；而在后一半的路程中，以每小时120公里的速度前进则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少公里？A.60 B.80 C.90 D.100[答案]B[解析]“前一半，后一半”等距离运动，，答案选择B模型6：无动力漂流 无动力漂流：漂流时间，其中t1为逆流时间，t2为顺流时间；【例题18】（四川2012－14）一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要5个小时，以同样的功率从乙地开往甲地需要6个小时如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间？（ ）A. 5小时 B. 15小时 C. 30小时 D. 60小时［答案］D［简析］根据公式，，答案选择D模型7：等间隔发车1）发车时间，其中t1为迎面相遇时间，t2为反向追及时间；2）等间隔发车问题本质上是等距离的相遇问题和追及问题，其中路程和＝路程差＝等间隔距离【例题19】（重庆秋季2013-93）为了保持赛道清洁，每隔10分钟会有一辆清扫车从起点出发，匀速清扫赛道。
甲、乙两名车手分别驾驶电动车和自行车考察赛道，甲每隔5分钟追上一辆清扫车，每隔20分钟有一辆清扫车追上乙，问甲的速度是乙的多少倍？（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6[答案]。