一、考点突破 用运动的观点来探究几何图形变换规律的试题称为动态几何型问题，动态几何型问题以运动为载体，集代数与几何的众多知识于一体，并且渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想，命题的设置常常带有开放性、操作性和探究性，试题本身有一定的区分度，往往是中考数学试卷的“压轴题”因此，动态几何型问题已成为中考的热点试题二、重难点提示重点：借助图形在运动过程中产生的函数关系来探究几何图形的变化规律；借助图形在运动过程中的变量和不变量，结合图形变换的有关性质来解决问题难点：综合运用分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等数学思想来解决问题能力提升类 例1 如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿BCA运动，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（ ）A. 4 B. 6 C. 12 D. 14一点通：解决本题的关键是读懂图意，表示出y与x的关系式，从而判断图象的形状解：通过图（2）可以看出，当点P运动到点C时，点P运动的路程为4，即BC＝4；当点P运动到点A时，点P运动的路程为7，即AC＝3，则S△ABC＝AC×BC＝6，选B。
评析：点动型问题的函数图象，要能正确地读懂这两个图的含义，找出其中的相关信息，然后利用公式求出三角形的面积例2 如图，⊙A与轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在⊙A上，且在第一象限，∠PAO＝60°，⊙A沿轴正方向滚动，当点P第次落在轴上时，点P的横坐标为_________一点通：由简单的一周长度，找到一般情况下的规律得出答案解：⊙A沿轴正方向滚动一周所表示的数应为，滚动周后落在轴上时，所表示的数为，点P所表示的数可看作是⊙A滚动周后所表示的数－圆心角为300°所对的弧长，故当点P第次落在轴上时，点P的横坐标为评析：本题考查了直线与圆的位置关系、弧长公式的计算综合运用类 例3 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 一点通：分两种情况，即0＜x≤1时和1＜x＜2时进行讨论解：（1）当0＜x≤1时，如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝1，AO＝1，且AC⊥BD；∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴，即，MN＝x；∴y＝AP×MN＝x2（0＜x≤1），∵，∴函数图象开口向上（2）当1＜x＜2时，如图，同理证得△CDB∽△CNM，，即，MN＝2－x；∴y＝AP×MN＝x×（2－x），y＝－x2＋x；∵－，∴函数图象开口向下综上，答案C的图象大致符合；故选C。
评析：本题综合考查了相似三角形和二次函数图象的知识及点动型问题，需要分段思考，先确定函数解析式，再选择图象例4 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成的图形的面积S一点通：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可解：（1）如图所示2）S＝2[π·12＋π·（）2＋1＋π·12]＝＋2评析：本题考查了扇形面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题解题的关键是正确得到点A的翻转角度和翻转半径思维拓展类 例5 如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO做匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向做匀速平移运动。
若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O点时，它们都停止运动1）当点P段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；（2）当点P段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD是菱形一点通：（1）根据点P与直线l的距离d＜1分为点P在直线l的左边和右边，分别表示距离，列不等式组求范围；（2）四边形CPBD不可能为菱形依题意可得AC＝t，OC＝4－t，PA＝3t－4，PB＝7－3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD＝PB可求t的值，又当四边形CPBD为菱形时，PC＝PB＝7－3t，把t代入PA2＋AC2，PC2中，看结果是否相等，如结果不相等，就不能构成菱形设直线l比P点迟a秒出发，则AC＝t－a，OC＝4－t＋a，再利用平行线表示CD，根据CD＝PB，PC∥OB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可解：（1）当点P段OA上时，P（3t，0），⊙P与x轴的两交点坐标分别为（3t − 1，0）、（3t ＋ 1，0），直线l为x ＝ 4 − t，若直线l与⊙P相交，则解得：< t <。
2）点P与直线l运动t秒时，AP＝3t−4，AC＝t若要四边形CPBD为菱形，则CP//OB，∴∠PCA＝∠BOA，∴Rt△APC∽Rt△ABO，∴，∴，解得t＝，此时AP＝，AC＝，∴PC＝，而PB＝7−3t＝≠PC，故四边形CPBD不可能是菱形上述方法不唯一，只要推出矛盾即可）现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，若四边形CPBD为菱形，则CP//OB，∴△APC∽△ABO，，∴，即：，解得∴只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形评析：关键是根据菱形的性质，即对边平行，邻边相等，得出相似比及边相等的等式，运用代数方法列方程求解，对于存在性问题，一般假设存在再求解例6 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－81）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变。
当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标一点通：（1）要确定抛物线解析式，只需求出b、c的值，因此需要求出抛物线上两点的坐标，可根据点A、B在直线AB上求出A、B两点的坐标，然后代入抛物线解析式；（2）①不管点P的位置如何变化，△PDE的形状始终不变，DE∶PE∶PD＝3∶4∶5，因此只需表示出PD的长，即可表示出△PDE的周长，然后根据二次函数的性质求出最大值；②正方形的位置是否发生变化取决于线段AP的大小和位置是否发生变化解：（1）对于，当y＝0，x＝2；当x＝－8时，y＝－∴A点坐标为（2，0），B点坐标为由抛物线经过A、B两点，得解得（2）①设直线与y轴交于点M当x＝0时，y＝∴OM＝∵点A的坐标为（2，0），∴OA＝2∴AM＝∵OM∶OA∶AM＝3∶4∶5由题意得，∠PDE＝∠OMA，∠AOM＝∠PED＝90°，∴△AOM～△PED∴DE∶PE∶PD＝3∶4∶5∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∴PD＝yP－yD＝∴②满足题意的点P有三个，分别是 当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC＝AO＝2，即，解得，所以当点F落在y轴上时，同法可得，（舍去）评析：此题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定以及用待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合进行分析和灵活应用相似三角形的判定是解决问题的关键。
解决问题（2）时要抓住三角形的形状不变的特征，最大值常用函数的最大值来解决对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形（特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化的数学思想加以解决当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解，当确定图形之间的特殊位置或一些特殊的值时，通常建立方程模型求解问题：如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）A. B. C. D. 一点通：根据动点P从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增大而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可解：当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点P在DC上运动时，y随x的增大而增大；当点P在CB上运动时，y不变；当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小。
故选B评析：本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的关键是发现y随x的变化而变化的趋势要确定函数图象，应先探究其函数解析式；搞清动点P运动的路线及字母x、y的含义，是解答本题的关键答题时间：60分钟）1. 如图，在Rt△中，，，AB＝2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度/秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第_______秒3. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，交BD于F，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形；（2）设四边形PQCM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。
4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说。