第7讲 函数图象【高考会这样考】1．考察函数图象的识辨．2．考察函数图象的变换．3．运用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．【复习指引】函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基本，是高考考察的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常用题型的解法技巧理解透彻．基本梳理1．函数图象的变换(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象有关y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象有关x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象有关原点对称．由对称变换可运用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其他部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象有关y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．(3)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到本来的a倍，横坐标不变．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到本来的倍，纵坐标不变．(4)翻折变换①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其他部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象有关y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．2．等价变换例如：作出函数y＝的图象，可对解析式等价变形y＝⇔⇔⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．3．描点法作图措施环节：(1)拟定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 一条主线数形结合的思想措施是学习函数内容的一条主线，也是高考考察的热点．作函数图象一方面要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．两个区别(1)一种函数的图象有关原点对称与两个函数的图象有关原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一种函数的图象有关y轴对称与两个函数的图象有关y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系． 三种途径明确函数图象形状和位置的措施大体有如下三种途径．(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(2)函数解析式的等价变换．(3)研究函数的性质．双基自测1．(人教A版教材习题改编)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )．A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．答案 C2．(·安徽)若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )A. B．(10a,1－b)C. D．(a2,2b)解析 本题重要考核对数运算法则及对数函数图象，属于简朴题．当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，因此点(a2,2b)在函数y＝lg x图象上．答案 D3．函数y＝1－的图象是( )．解析 将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一种单位，即可得到函数y＝1－的图象．答案 B4．(·陕西)函数y＝x的图象是( )．解析 该题考察幂函数的图象与性质，解决此类问题一方面是考虑函数的性质，特别是奇偶性和单调性，再与函数y＝x比较即可．由(－x)＝－x知函数是奇函数．同步由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x，知只有B选项符合．答案 B5．已知图①中的图象相应的函数为y＝f(x)，则图②的图象相应的函数为( )．A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)解析 y＝f(－|x|)＝答案 C 考向一 作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1；(4)y＝.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y＝图象如图①.(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y＝.图象如图③.(4)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图④. (1)纯熟掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的措施技巧，来协助我们简化作图过程．【训练1】 作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解 (1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一种单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相似，又y＝sin|x|为偶函数，其图象有关y轴对称，如图②所示．(3)一方面作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．考向二 函数图象的识辨【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同始终角坐标系下的图象大体是( )．[审题视点] 在同一种坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特性点以及函数的单调性来判断．解析 f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一种单位而得到，因此函数图象通过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A项中单调递增的函数通过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g(x)＝21－x＝2×x，其图象通过(0,2)点，且为单调减函数，B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A，B，D.故选C.答案 C 函数图象的识辨可从如下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．运用上述措施，排除、筛选错误与对的的选项．【训练2】 (·山东)函数y＝2x－x2的图象大体是( )．解析 当x＞0时，2x＝x2有两根x＝2,4；当x＜0时，根据图象法易得到y＝2x与y＝x2有一种交点，则y＝2x－x2在R上有3个零点，故排除B、C；当x→－∞时，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故选A.答案 A考向三 函数图象的应用【例3】►已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．[审题视点] 作出函数图象，由图象观测．解 f(x)＝作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y＝f(x)与y ＝m图象，有四个不同的交点，则0＜m＜1，∴集合M＝{m|0＜m＜1}． (1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．(2)运用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，例如判断方程与否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想措施．【训练3】 (·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范畴是( )．A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]C．[1－2，3] D．[1－，3]解析 在同一坐标系下画出曲线y＝3－(注：该曲线是以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y＝3上方的部分)与直线y＝x的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－均有公共点；注意到与y＝x平行且过点(0,3)的直线的方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y＝3上方的部分)，有＝2，b＝1－2.结合图形可知，满足题意的只有C选项．答案 C 难点突破5——高考中函数图象的考察题型波及函数图象的知识点在高考中的考察形式重要有三种类型：一、由解析式选配图象解决时需要从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面综合考察，有时也可以根据特殊状况(如特殊点、特殊位置)进行分析．【示例】► (·山东)函数y＝－2sin x的图象大体是( )．二、图象平移问题一般地，平移按“左加右减，上正下负”进行函数式的变换．【示例】► (·郑州模拟)若函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )．三、图象对称问题【示例】► (·厦门质检)函数y＝log2|x|的图象大体是( )．。