第2课时 “非”学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一 逻辑联结词“非”思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．答案 两组命题中，命题q都是命题p的否定．梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二 “p∧q”与“p∨q”的否定对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“∨”变为“∧”．复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．知识点三 命题的否定与否命题思考 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案 命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理 (1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．①“綈p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“綈p”与否命题的区别；②p与“綈p”的真假必定相反；③“綈p”必须包含p的所有对立面．(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．1．命题的否定和否命题是一回事．(×)2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)类型一 綈p命题及构成形式例1 写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.引申探究写出本例中所给命题的否命题．解 (1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1 写出下列命题的否定形式．(1)p：y ＝ sin x 是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解 (1) 綈p：y ＝ sin x不是周期函数．(2) 綈p：3≥2.(3) 綈p：空集不是集合A的子集．(4) 綈p：5是75的约数．类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断例2 分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数．(2)p：7＞7；q：7＝7.考点 綈p形式命题真假性的判断题点 判断綈p的真假解 (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．引申探究在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对(2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假．解 (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题；(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．反思与感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．跟踪训练2 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．考点 “綈p”形式命题真假性的判断题点 判断綈p的真假答案 ④解析 由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．类型三 命题的否定的真假应用例3 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⇔，解得a≤－1.命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或由于⇔解得02，因为“p∧q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－12，则下列判断正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假，“綈q”为假；②“p∨q”为真，“綈q”为假；③“p∧q”为假，“綈p”为假；④“p∧q”为真，“p∨q”为假．答案 ②解析 显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故②正确．2．命题“若a>b，则3a>3b”的否命题是________________，命题的否定为________________．答案 若a≤b，则3a≤3b 若a>b，则3a≤3b3．“a≥5且b≥2”的否定是________．答案 a<5或b<2解析 “p∨q”的否定是“(綈p)∧綈q”，而“p∧q”的否定为“(綈p)∨(綈q)”．4．给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________．(填序号)①命题“p∧q”为真； ②命题“p∨q”为假；③命题“p∨(綈q)”为真； ④命题“p∧(綈q)”为真．答案 ③④解析 依题意得命题p为真命题，命题q为假命题．故p∧q为假，p∨q为真，p∨(綈q)为真，p∧(綈q)亦为真，只有③④正确．5．已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q：抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，若(綈p)∧q为真命题，则实数a的取值范围为________________．考点 “非p”形式命题真假性的判断题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围答案 解析 由函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，知0＜a＜1.若抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，则Δ＝(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.∵(綈p)∧q为真命题，∴p为假命题，且q为真命题，于是有∴a＞.∴所求实数a的取值范围是.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．一、填空题1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案 ②③解析 由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(綈p1)∨p2和④p1∧(綈p2)中，为真命题的是________．(填序号)答案 ①④解析 p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，∴③(綈p1)∨p2为假命题，④p1∧(綈p2)为真命题．∴为真命题的是①④.4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)①p假q真；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真；④“非p”为真．答案 ②解析 由(x＋2)(x－3)<0，得－24}”是假命题，则x的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈[1,2)．6．已知p：x2＋2x－3>0，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的________条件．答案 充分不必要解析 p：{x|x>1或x<－3}，q：{x|2