北师大版高二年级第一次月考数学数列试题

1北师大版高二年级第一学期第一次月考数学试题 姓名 一．选择题1．已知 an＋1 －a n－3＝0，则数列{a n}是(　　)A．递增数列 B．递减数列 C．常数项　 D．不能确定答案　A解析　a n＋1 －a n－3＝0，得 an＋1 －a n＝3＞0，即 an＋1 －a n＞0.所以数列{a n}是递增数列．2．数列 2,3,4,5，…的一个通项公式为 (　　)A．a n＝n　 B．a n＝n＋1 C．a n＝n＋2　D．a n＝2n答案　B解析　这个数列的前 4 项都比序号大 1，所以，它的一个通项公式为 an＝n＋1.3．在数列 1,3,6,10，x, 21,28，…中，由给出的项之间的关系可知x 的值是( 　　)A．12　 B．15　 C．17　 D．18答案　B解析　观察发现相邻两项分别相差 2,3,4,5,6,7，…，依据规律两个依次为 5,6，∴x＝10＋ 5＝15.4．若 5，x， y，z,21 成等差数列，则 x＋y＋z 的值为 (　　)A．26　 B．29　 C．39　 D．52答案　C解析　∵5，x，y ，z,21 成等差数列，∴y 是 5 和 21 的等差中 项也是 x 和 z 的等差中项．2∴5＋21 ＝2y，∴y＝13，x ＋ z＝2y＝26.∴x＋y＋z＝39.5.在等比数列{ a n }中，a n>0，且 a1·a10＝27，log 3a2＋log 3a9 等于(　　)A．9　 B．6　 C．3　 D．2答案　C解析　因为 a2a9＝a 1a10＝27，log 3a2＋log 3a9＝log 327＝3.6．已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一个等比数列，该等比数列的公比 q 为(　　)A． B．3　 C．± 　 D．±313 13答案　B解析　设等差数列为{a n}，公差为 d，d≠0.则 a ＝a 2·a6，∴(a1＋2d) 2＝(a 1＋d)(a 1＋5d)，23化简得 d2＝－2a 1d，∵d≠0 ，∴d＝－2a 1，∴a2＝－ a1，a3＝－3a 1，∴q＝ ＝3.a3a27．设等比数列{a n}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则 等于 (　　)S4a2A．2　 B．4 C． 　 D．152 172答案　C解析　S 4＝ ，a2＝a 1q，∴ ＝ ＝ .a11－ q41－ q S4a2 1－ q41－ qq 1528．设公差为－2 的等差数列{a n}，如果a1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么 a3＋a 6＋a 9＋…＋a 99 等于(　　)A．－182　 B．－78 C．－148　 D．－82答案　D3解析　a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d)＋(a 4＋2d) ＋(a 7＋2d)＋…＋( a97＋ 2d)＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d×33＝50＋ 2×(－2)×33＝－ 82.9．数列{ an}的通项公式 an＝ ，若前 n 项的和为 10，则1n＋ n＋ 1项数为(　　)A．11 　B．99 C．120　 D．121答案　C 解析　∵an＝ ＝ － ，∴Sn＝ －1＝10 ，∴n＝120.1n＋ n＋ 1 n＋ 1 n n＋ 12．填空题10．在数列{a n}中，a n＋1 ＝ can(c 为非零常数)，且前 n 项和为Sn＝3 n＋k ，则实数 k＝________.答案　－1解析　当 n＝1 时，a 1＝S 1＝3＋k，当 n≥2 时，an＝S n－S n－1 ＝(3 n＋k )－(3 n－1 ＋k)＝3 n－3 n－1 ＝2·3 n－1 .由题意知{ an}为等比数列，所以 a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.11．如果数列{a n}满足 a1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n－a n－1 ，…，是首项为 1，公比为 2 的等比数列，那么 an＝________.答案　2 n－1解析　a n－a n－1 ＝a 1qn－1 ＝2 n－1 ，即Error!相加得 an－a 1＝2＋2 2＋…＋2 n－1 ＝2 n－2，故 an＝a 1＋2 n－2＝2 n－1.412．已知数列{a n}满足 an＋1 ＝Error!若 a1＝ ，则 a2 67014＝________.答案　67解析　计算得 a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，故数列 {an}是以 3 为周期57 37 67的周期数列，又知 2 014 除以 3 余 1，所以 a2 014＝a 1＝ .673．解答题13．写出数列 ，－1， ，－ ， ，－ ，…的一个通项公式：23 107 179 2611 3713解析偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1 ，观 察各项绝对值组成的数列，从第 3 项到第 6 项可见，分母分别由奇数 7,9,11,13 组成，而分子则是 32＋1,4 2＋1,5 2＋1,6 2＋1，按照这样的规律，第 1,2 两 项可分别改写为 ，－ ，12＋ 12＋ 1 22＋ 12×2＋ 1所以 an＝( － 1)n＋1 .n2＋ 12n＋ 114．在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成等差数 列，求此数列．解　∵－ 1，a，b，c,7 成等差数列，5∴b 是－ 1 与 7 的等差中项． ∴b＝ ＝3.－ 1＋ 72又 a 是－1 与 3 的等差中项，∴ a＝ ＝1.－ 1＋ 32又 c 是 3 与 7 的等差中项 ，∴c＝ ＝5.3＋ 72∴该数列 为－1,1,3,5,7.15．已知数列{a n}的前 n 项和 Sn＝2a n＋1，求证{a n}是等比数列，并求出通项公式．证明　∵S n＝2a n＋1，∴S n＋ 1＝2a n＋1 ＋1.∴an＋1 ＝ Sn＋1 －S n＝(2a n＋1 ＋1)－(2a n＋1)＝2a n＋1 －2a n.∴an＋1 ＝2a n，又∵S 1＝ 2a1＋1＝a 1，∴a1＝－ 1≠0.又由 an＋1 ＝2a n知 an≠0， ∴＝2， ∴{an}是等比数列．an＋ 1an∴an＝－ 1×2n－1 ＝－2 n－1 .16．已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2a n－2(n∈N ＋ )，在数列{b n}中， b1＝1，点 P(bn，b n＋1 )在直线 x－y＋ 2＝0 上．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记 Tn＝a 1b1＋a 2b2＋…＋a nbn，求 Tn解　(1)由 Sn＝ 2an－2，得 Sn－1 ＝2a n－1 －2(n≥2)，两式相减6得 an＝2a n－2a n－1 ，即 ＝2(n≥2)，anan－ 1又 a1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，∴ an＝2 n.∵点 P(bn，bn＋ 1)在直线 x－y＋2＝0 上，∴bn－b n＋1 ＋2＝0，即 bn＋1 －b n＝2，∴{bn}是等差数列， ∵b1＝1 ，∴bn＝2n－1.(2)∵Tn＝1×2＋3×2 2＋5×2 3＋…＋(2n－3)2 n－1 ＋(2n－1)2n，①∴2Tn＝1×2 2＋3×2 3＋5× 24＋…＋(2n－3)2n＋(2n －1)·2 n+1，②①－②得：－T n＝1×2＋ 2(22＋2 3＋…＋2 n)－(2n－1)·2 n+1＝2＋2· －(2n－1)2 n+122－ 2n·21－ 2＝2＋4·2 n－8－(2 n－1)2 n+1＝(3－ 2n)·2n+1－6，∴Tn＝(2n－3)·2 n+1＋6.规律方法　等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.。