2024年高考数学新课标Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1．已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，0} B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}2．若zz-1=1+i，则z＝（ ）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥(b-4a)，则x＝（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（ ）A．﹣3m B．-m3 C．m3 D．3m5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（ ）A．23π B．33π C．63π D．93π6．已知函数为f(x)=-x2-2ax-a,x<0,ex+1n(x+1),x⩾0在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）7．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣π6）的交点个数为（ ）A．3 B．4 C．6 D．88．已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（ ）A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。
每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（x，s2），则（ ）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.810．设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）11．造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（ ）A．a＝﹣2B．点(22,0)在C上C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤4x0+2三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C与A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ．13．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 ．四、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝2cosB，a2+b2﹣c2＝2ab．（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+3，求c．16．已知A（0，3）和P（3，32）为椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上两点．（1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝3．（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为427，求AD．18．已知函数f（x）＝lnx2-x+ax+b（x﹣1）3．（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．19．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分数列．（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分数列；（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞18．参考答案1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．B 9．B,C 10．A,C,D 11．A,B,D12．32 13．ln2 14．1215．（1）解：∵a2+b2﹣c2＝2ab．由余弦定理：a2+b2-c2=2abcosC，∴2cosC=2，即cosC=22，又∵C∈(0,π)，∴C=π4，又∵ sinC＝2cosB ，∴cosB=sinπ42=12，又∵B∈(0,π)，∴B=π3，（2）解：如下图所示，过点A作AD⊥BC，由(1)得，B=π3，C=π4，设BD=t，则CD=AD=3t，c=AB=2t，则S∆ABC=12×BC×AD=12×3t+t×3t=3+3，解得t=2(负值舍去)∴c=AB=22.16．（1）解：由 椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0） 经过 A（0，3），∴b=3，即b2=9，代入点P （3，32）得，9a2+949=1，解得a2=12，即a=23，此时c=a2-b2=3，∴e=ca=12.（2）解：由(1)得椭圆C：x212+y29=1，由A（0，3）和P（3，32），∴AP=(3-0)2+32-32=352，kAP=3-320-3=-12，∴直线AP的解析式为y=-12x+3，即x+2y-6=0，设点B到直线AP的距离为d，∴S∆ABP=12×352d=9，解得d=1255.设点Bx1,y1，则d=x1+2y1-65=1255x1212+y129=1，解得x1=-3y1=-32或x1=0y1=-3，即B(-3，-32)或B(0，-3)，①若B(-3，-32)，此时kBP=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0；②若B(0，-3)，此时kBP=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0；综上所述，直线l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0.17．（1）证明：∵ AC＝2，BC＝1，AB＝3，即AC2=BC2+AB2，∴AB⊥BC，∵PA⊥ 底面ABCD ，∴PA⊥AD，又∵AD⊥PB，PA∩PB=B，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AB，∴AD∥BC，又∵AD ⊄平面BCP，BC⊂平面BCP，∴AD∥平面PBC.（2）解：过点A作AE⊥CP，AF⊥DP，垂足分别为点E，F，连接EF，∵AD⊥DC，AP⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AC，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，又∵CD∩DP=D，∴AF⊥平面CDP，同理AF⊥EF，∠AEF即为 二面角A﹣CP﹣D的夹角，∵PA=PC=2，∴AE=12CP=2，sin∠AEF=AFAE=AF2=427，解得AF=2217，设AD=t，则DP=4+t2，∴在Rt△PAD中，由S△ADP=12×AD×AP=12×DP×AF，即2t=4+t2×2217，解得：t=3(负值舍去)，∴AD=t＝3.18．（1）解：当b=0时，此时函数 f（x）＝lnx2-x+ax =lnx-ln(2-x)+ax，其中0g1，且g（1）=0，即g(x)>0，故g（x）＝lnx2-x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立， 即f（x）＞﹣2恒成立；②若2+3b<0，即b<-23，故此时当1＜x＜2，存在x0>1，使得h(x)<0，即存在x0>1，g'x<0，又∵g'1=0，∴存在x1>1，使得g（x）在1＜x＜x1单调递减，∴g(x)min>gx1，g(1)>gx1，即gx1<0，故g（x）＝lnx2-x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2不恒成立，不符合题意；综上所述，b的取值范围是[﹣23，+∞）.19．（1）解：等差数列 a1，a2，…，a6 删去两项后，余下4项成等差数列，此时剩下的数列若想构成数列，必然是公差为d的数列，即可能的情。