微点突破,6,曲线的公切线问题,高考总,复习优化设计,GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI,2026,考情分析,:,在近几年的高考导数试题中,求曲线的公切线问题成为高考的热点题型之一,.,学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,求解方法也较容易理解,.,但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多、灵活得多、难度也大得多,.,备考建议,:,解决公切线问题的一般思路,两条曲线的公切线问题,主要考查导数的几何意义,关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡,.,主要应用在求公切线方程,与切线有关的参数,以及与函数的其他性质联系到一起,.,处理与切线有关的参数,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程并求出参数,:,切点处的导数是切线的斜率,;,切点在切线上,;,切点在曲线上,.,典例,(1),已知函数,f,(,x,),=,e,x-,1,g,(,x,),=,e,x,2,若直线,l,是曲线,y=f,(,x,),与曲线,y=g,(,x,),的公切线,则,l,的方程为,(,),A.e,x-y=,0B.e,x-y-,e,=,0,C.,x-y=,0,D.,x-y-,1,=,0,B,解析,设,l,:,y=kx+m,与曲线,y=f,(,x,),相切于点,A,(,x,0,y,0,),与曲线,y=g,(,x,),相切于点,B,(,x,1,y,1,),由,f,(,x,),=,e,x-,1,可得,l,的斜率,k=,所以,x,0,+m=,又由,g,(,x,),=,e,x,可得,k=,e,x,1,所以,e,x,1,x,1,+m=,即,m=-,又因为,e,x,1,将,代入,中,可得,e,x,1,x,0,-,x,1,由,易知,x,1,0,则,x,0,-,1,=,x,1,将,代入,可得,x,1,则,x,1,-,1,-,ln,=,0,.,令,h,(,x,),=x-,1,-,ln,x,则,h,(,x,),=,当,0,x,1,时,h,(,x,),1,时,h,(,x,),0,h,(,x,),单调递增,.,所以,h,(,x,),h,(1),=,0,当且仅当,x=,1,时,等号成立,故,x,1,=,1,解得,x,1,=,2,所以,m=-,2,2,=-,e,k=,2,=,e,所以,l,的方程为,y=,e,x-,e,即,e,x-y-,e,=,0,.,故选,B,.,(2),曲线,f,(,x,),=-,(,x,0),与曲线,g,(,x,),=,ln,x,的公切线的条数为,.,1,解析,设点,(,x,1,y,1,),是公切线和曲线,f,(,x,),=-,(,x,0),的切点,x,1,0,则切线斜率,k,2,=g,(,x,2,),=,切线方程为,y-,ln,x,2,=,(,x-x,2,),整理得,y=,x+,ln,x,2,-,1,.,令,消去,x,2,得,-,=,ln,-,1,.,设,t=-x,1,0,即,2ln,t-,-,1,=,0,只需探究此方程解的个数,.,易知函数,h,(,t,),=,2ln,t-,-,1,在,(0,+,),内单调递增,h,(1),=-,3,0,于是,h,(,t,),=,0,有唯一解,于是曲线,f,(,x,),与,g,(,x,),的公切线的条数为,1,.,对点训练,(1)(2024,广东茂名一模,),曲线,f,(,x,),=,ln,x,与曲线,g,(,x,),=x,2,+,2,ax,有公切线,则实数,a,的取值范围是,(,),A.(,-,-,B.,-,+,),C.(,-,D,.,+,),B,解析,两个函数求导分别为,f,(,x,),=,g,(,x,),=,2,x+,2,a,设,f,(,x,),=,ln,x,g,(,x,),=x,2,+,2,ax,图象上的切点分别为,(,x,1,ln,x,1,),(,x,2,+,2,ax,2,),则过这两点处的切线方程分别为,y=,+,ln,x,1,-,1,y=,(2,x,2,+,2,a,),x-,则,=,2,x,2,+,2,a,ln,x,1,-,1,=-,所以,2,a=,-,2,x,2,设,h,(,x,),=,-,2,x,h,(,x,),=,2(,x,-,1),h,(1),=,0,令,(,x,),=h,(,x,),=,2(,x,-,1),所以,(,x,),=,2(2,x,2,+,1),0,所以,(,x,),在,R,上单调递增,且,h,(1),=,0,则,h,(,x,),在,(,-,1),内单调递减,在,(1,+,),内单调递增,所以,2,a,h,(1),=-,1,即,a,-,故选,B,.,(2),已知,f,(,x,),=,e,x,(e,为自然对数的底数,),g,(,x,),=,ln,x+,2,直线,l,是曲线,f,(,x,),与,g,(,x,),的公切线,则直线,l,的方程为,.,y=,e,x,或,y=x+,1,解析,设,l,与曲线,f,(,x,),=,e,x,的切点为,(,x,1,y,1,),则,y,1,=,f,(,x,),=,e,x,所以,f,(,x,1,),=,所以,切点为,(,x,1,),切线斜率,k=,所以切线方程为,y-,(,x-x,1,),即,y=,x-x,1,同理设,l,与曲线,g,(,x,),=,ln,x+,2,的切点为,(,x,2,y,2,),所以,y,2,=,ln,x,2,+,2,又,g,(,x,),=,所以,g,(,x,2,),=,所以切点为,(,x,2,ln,x,2,+,2),切线斜率,k=,所以,切线方程为,y-,(ln,x,2,+,2),=,(,x-x,2,),即,y=,x+,ln,x,2,+,1,由,题意知,与,相同,所以,由,得,x,2,=,代入,有,-x,1,=-x,1,+,1,即,(1,-x,1,)(,-,1),=,0,解得,x,1,=,1,或,x,1,=,0,.,当,x,1,=,1,时,切线方程为,y=,e,x,;,当,x,1,=,0,时,切线方程为,y=x+,1,.,综上,直线,l,的方程为,y=,e,x,或,y=x+,1,.,本 课 结 束,。