课程标准命题解读1.了解数列的概念和表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．2．理解等差数列的概念和通项公式的意义．3．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．4．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．体会等差数列与一元一次函数的关系．5．理解等比数列的概念和通项公式的意义．6．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．7．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．体会等比数列与指数函数的关系.考查形式：一般为一个选择题和一个填空题或一个解答题．考查内容：数列的概念及表示方法、等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式、数列求和及其应用．备考策略：(1)熟练应用等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式求值．(2)重视数列与函数关系的研究，注意函数性质在数列中的应用．(3)加强数列求和问题的训练．核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.第1节 数列基础一、教材概念·结论·性质重现1．数列的概念与表示数列内容定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数称为这个数列的项各项依次称为这个数列的第1项(或首项)，组成数列的数的个数称为数列的项数，an表示数列的第n项，称为数列的通项表示a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}函数观点an＝f(n)，n∈N*(1)数列研究的是有规律的一列数，归纳与猜想是研究数列的重要方法．(2)有序性是数列的主要特征，数列的项an是序号n的函数，其中n是正整数．2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔anan＋1常数列各项都相等的数列⇔an＝an＋1数列的前三项的增减性是判断数列是否具有增减性的必要条件，解题时要灵活运用．3．数列的通项公式与递推公式数列的形式意义特点通项公式用公式an＝f(n)，n∈N*给出数列可以求任意项递推公式给出首项，相邻两项或多项之间的关系需依次求各项由数列的递推公式求数列的通项公式是高频考点．4．数列的前n项和(1)表示：一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和．(2)an与Sn的关系：如果数列{an}的前n项和为Sn，则an＝(1)求数列的前n项和，从首项起，以后各项依次相加，其中项数是易错点．(2)由Sn求an的三个步骤：①求a1＝S1；②当n≥2时，求an＝Sn－Sn－1；③验证首项．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)数列1,2,3与3,2,1是同一个数列．( × )(2)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.( √ )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( × )2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )A．15 B．16 C．49 D．64A 解析：因为Sn＝n2，所以a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时符合上式，所以an＝2n－1，所以a8＝2×8－1＝15.3．(多选题)已知数列的通项公式为an＝n2－10n＋16，则下列说法正确的是( )A．数列{an}是递增数列B．数列{an}是递减数列C．数列{an}中的最小项是第5项D．数列{an}的前5项递减，以后各项递增CD 解析：由于通项公式an＝n2－10n＋16＝(n－5)2－9，所以数列{an}中的最小项是第5项，数列{an}的前5项递减，以后各项递增．4．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.34 解析：通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.5．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(－3，＋∞) 解析：因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.考点1 由数列的前几项求数列的通项——基础性1．(2020·乌鲁木齐米东区期中)数列－1,3，－6,10，…的一个通项公式是( )A．an＝(－1)nn2－(n－1)B．an＝(－1)n＋1(n2－1)C．an＝(－1) nD．an＝(－1)n－1C 解析：设此数列为an，可得每一项的符号为(－1)n，且|an|＝，所以an＝(－1)n.2．已知数列，，，，，…，则5是它的( )A．第19项 B．第20项C．第21项 D．第22项C 解析：数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.3．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________. 解析：数列{an}的前4项可变形为，，，，故它的一个通项公式an＝.4．一个数列{an}的前4项是0.8,0.88,0.888,0.888 8，则这个数列的一个通项公式是an＝________. 解析：数列变为×，，，…，故它的一个通项公式an＝.由数列的前几项求数列的通项的策略根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察、对比、分析，从整体到局部多角度归纳、联想．抓住以下几个方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征．(2)相邻项的联系特征．(3)拆项后的各部分特征．(4)符号特征．考点2 由Sn与an的关系求通项——应用性(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.4n－5 解析：a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5.(2)(2019·上海卷)已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2，则S5＝________. 解析：当n＝1时，S1＋a1＝2，所以a1＝1.当n≥2时，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，两式相减得an＝an－1(n≥2)，所以{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝，所以S5＝＝.本例(1)条件变为“Sn＝3n＋1”，求数列{an}的通项公式．解：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝已知Sn求an的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．已知数列{an}，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求数列{an}的通项公式．解：因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．由题意知a1＝符合上式，所以an＝.考点3 由数列的递推关系求通项——综合性考向1 累加法(原创题)设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＝( )A．1 B．2 C．3 D．4A 解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，则＝＝2.所以＋＋…＋＝2＝2＝.所以＝＝1.由数列的递推关系求通项公式方法之一已知a1，且an－an－1＝f(n)时，用累加法求解．考向2 累乘法已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝，n≥2.又a1＝1＝，也满足上式．综上，数列{an}的通项公式an＝.由数列的递推关系求通项公式方法之二已知a1，且＝f(n)时，用累乘法求解．考向3 待定系数法设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则an＝________.5×2n－1－3 解析：设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.由数列的递推关系求通项公式方法之三已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．考向4 取倒数法(2020·广雅中学模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则an的表达式为( )A．an＝ B．an＝C．an＝ D．an＝B 解析：数列{an}中，由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，可得＝3＋，所以数列是首项为，公差为3的等差数列，所以＝＋3(n－1)＝.可得an＝(n∈N*)．由数列的递推关系求通项公式方法之四形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新的数列求解．1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an－2，则a6＝( )A．0 B．1 C．2 D．6B 解析：因为a1＝1，an＋1＝3an－2，所以a2＝3－2＝1，以此类推可得a3＝3a2－2＝1，a4＝3a3－2＝1，a5＝3a4－2＝1，a6＝3a5－2＝1.2．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝，则a5的值为________． 解析：由递推公式可得anan＋1＋2an＋1＝2an，即anan＋1＝2an－2an＋1，据此有－＝.又＝1，故数列是首项为1，公差为的等差数列，则＝1＋×(5－1)＝3，故a5＝.3．(2020。
