第六章 地球椭球与椭球计算理论,[本章提要] 6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.3 几种主要的椭球公式 6.4 将地面观测值归算至椭球面[习题],本章提要,本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识1．地球椭球的定义及其几何意义；2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用；3．各种测量坐标系统之间的相互转换；4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法[知识点及学习要求],在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用 各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算、大地主题解算 本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算 本章难点：,6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系,一. 地球椭球的基本几何参数,地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。
参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面地球椭球的几何定义：O是椭球中心，ＮＳ为旋转轴，a 为长半轴，b 为短半轴子午圈(经圈，或子午椭圆）：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆如NKAS,平行圈（或纬圈）：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆如QKQ’ 赤道：通过椭球中心的平行圈 如EAE’,地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): 地球椭球的五个基本几何参数：椭圆的长半轴椭圆的短半轴b椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率,,,椭圆的第二偏心率,,其中a、b 称为长度元素；扁率 反映了椭球体的扁平程度偏心率 和 是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比， 它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁二、通常用a ,α表示椭球的形状和大小我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。
几种常见的椭球体参数值,,,,,,,,三、相互关系 1．e与 e′的关系,,,,,2．e与α其它关系,,,四、引用符号及其相互关系 1．引用符号,,,,,,2．W与V关系,,两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：,C几何意义：极点处的几何曲率半径3. 地球椭球参数间的相互关系,其他元素之间的关系式如下：,,式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系,1 .大地坐标系,p 点的子午面NPS 与起始子午面 NGS 所构成的二面角L，叫做p 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0°～180°）P 点的法线 与赤道面的夹角B，叫做P点的大地纬度由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示地面点位的如果点不在椭球面上，表示点的位置除B,L外，还要附加另一参数——大地高H，它同正常高及正高有如下关系,,2. 空间直角坐标系,地心 坐标系，原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。
地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分3 . 子午面直角坐标系,设点 p 的大地经度L为，在过p点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y 平面直角坐标系在该坐标系中，p 点的位置用L,x,y 表示4 . 大地极坐标系,M 为椭球体面上任意一点，MN 为过M 点的子午线，S 为连结MP的大地线长，A 为大地线在M 点的方位角以M 为极点，MN 为极轴，S 为极半径，A为极角，这样就构成大地极坐标系在该坐标系中p 点的位置用S,A 表示椭球面上点的极坐标（S,A）与大地坐标(L,B）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算5、地心纬度坐标系,椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系连接OP，则 称为地心纬度，而OP＝ 称为P点向径，在此坐标系中，点的位置为：,6、 归化纬度坐标系,设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交P1点，则OP1与x轴夹角称为P点的归化纬度，用u表示，在此归化纬度坐标系中，P点位置用L，u 表示7. 各坐标系间的关系,椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。
1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系,过p 点作法线 ，它与x 轴之夹角为B，过点P作子午圈的切线TP，它与x 轴的夹角为（90°+B）子午面直角坐标x,y 同大地纬度B 的关系式如下：,以下：推导子午平面坐标系同大地坐标系的关系,此两式指明了法线Pn在赤道两侧的长度令: pn=N（卯酉圈曲率半径） 由图看出： 与前式 相比得：于是有 由图看出 上两式相比得：显然有：,上两式即为子午面直角坐标x，y同大地纬度B的关系式2）子午平面直角坐标系同归化纬度坐标系的关系 P(x，y)，OP1=a 由图可知：x=OP2=OP1cosμ=acosμ 代入公式：得：y=bsinμ,3）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系,空间直角坐标系中的P2P相当于子午平面直角坐标系中的y，前者的OP2相当于后者的x，并且二者的经度L相同 OP2=x 二面角∠P2OP1=L,,,4）空间直角坐标系同大地坐标系的关系,同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换,式中：e——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 算得。
N——法线长度，可由式 算得以下推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系,推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系由大地坐标计算空间直角坐标：,如果P点在椭球面上：（1）子午面直角坐标同大地坐标关系，（2）空间直角坐标同子午面直角坐标关系,如果P点不在椭球面上，设大地高为H，P点在椭球面上投影为P0,由空间直角坐标计算大地坐标,大地经度,大地纬度,大地高,由空间直角坐标计算相应大地坐标,大地纬度B、归化纬度u、 地心纬度φ之间的关系 B和u之间的关系 归化纬度坐标系同子午平面坐标系的关系：子午平面坐标系同 大地坐标系的关系：,U、φ之间的关系 地心纬度φ同子午平面坐标系关系 归化纬度U同子午平面坐标系：,Ｂ、φ之间的关系,大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45°时,8 、站心地平坐标系 大地站心地平坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系在描述两点间关系时，为方便直观，一般采用站心坐标系根据坐标表示方法，又可分为站心左手地平直角坐标系和站心地平极坐标系，见图 1）以测站P为原点，测站上P点的垂线(法线)为Z轴（U轴），指向天顶为正；子午线方向为x轴（N轴），指向参考短半轴，向北为正；y轴（E轴）与x，z轴平面垂直（向东为正）构成左手坐标系就称为垂线(或法线)站心直角坐标系。
或称为站心天文坐标系在站心直角坐标系下点的X（N） 、Y（E）、Z（U）坐标为该点在三个坐标轴上的投影长度站心极坐标系：以P点为中心的站心极坐标系定义如下： ( 1 ) X(N）PY（E） 平面为基准面；( 2 ）极点位于P；( 3 ）极轴为X（N） 轴 Q点在站心极坐标系下的坐标用极距（ d 为 由极点到该点的距离）、方位角（ α为在 基准面上，以极点为顶点，由极轴顺时针 方向量测PQ在基准面上投影的角度）、 高度角（EL为极点与该点连线与基准面间 的夹角）表示 空间任意一点Q相对于P的位 置可通过地面观测值——斜距d、 天文方位角α和天顶距z来确定 进行 GPS 观测时，常常采用 GPS 卫星相对于测站的高度角、方位角来描述其在空间中的方位实际上，如果再加上测站到卫星的距离，就是一个完整的站心坐标7、大地测量常用坐标系比较,6.3 椭球面上几种曲率半径（椭球数学性质）,过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线 椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
1. 子午圈曲率半径,子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK＝dS，相应地有坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，于是线段Dn及Kn便是子午圈曲率半径Ｍ由任意平面曲线的曲率半径的定义公式，易知,任意平面曲线的曲率半径的定义公式为： 从微分三角形DKE可求得：联立上两式得：子午面直角坐标同大地坐标关系：x坐标对大地纬度B取导数：又由第一纬度函数得：则有：子午圈曲率半径公式为： 或M与纬度B有关．它随B的增大而增大变化规律如下表所示： 表中极曲率半径c的几何意义是椭球体在极点处的曲率半径2.卯酉圈曲率半径,过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈在图中PEE’ 即为过Ｐ点的卯酉圈卯酉圈的曲率半径用Ｎ表示 为了推导Ｎ的表达计算式，过Ｐ点作以O’为中心的平行圈ＰＨＫ的切线ＰＴ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内因卯酉圈也垂直于子午面，故ＰＴ也是卯酉圈在Ｐ点处的切线即ＰＴ垂直于Pn 所以ＰＴ是平行圈ＰＨＫ及卯酉圈PEE’在Ｐ点处的公切线麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。
如图根据直角三角形有平行圈半径r：根据子午面直角坐标同大地坐标关系：卯酉圈曲率半径：根据（4-8）式得：由图可看出：也就是说 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上卯酉圈曲率半径的特点:由公式N=r/cosB得： N与纬度B有关．它随B的增大而增大卯酉圈曲率半径N与经度L无关，即同一平行圈上所有点的卯酉圈曲率半径N相同 在极点子午圈曲率半径 和卯酉圈曲率半径一致子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，统称为主曲率半径 常引用的两个符号：（1）=ρ″/M（2）=ρ″/N,主曲率半径的计算以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径 （1）主曲率半径是第一纬度函数的表达式,椭球面上几种曲率半径,椭球面上几种曲率半径,椭球面上几种曲率半径,（2）主曲率半径是第二纬度函数的表达式,3. 任意法截弧的曲率半径,,子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°现在来讨论方位角为Ａ的任意法截弧的曲率半径RA的计算公式。
由欧拉公式知，任意方向方位角为Ａ的法截弧的曲率半径的计算公式如下：以下是公式的推导：,。