专题：椭圆的离心率c æ b ö2一，利用定义求椭圆的离心率（ e = 或 e2 = 1 - ç ÷ ）a è a ø1，已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率 e = 325x y2 22，椭圆 +4 m= 1的离心率为 12，则 m = [解析]当焦点在 x 轴上时，4 - m = 1 Þ m = 3 ； 当焦点在 y 轴上时，= 1 Þ m = 16 ，m - 4m2 2 2 316综上 m = 或 3333，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是5x2 y24，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 + = 1的离心率为 m nì2n = 2m + nï 2 2 ìm = 2 x2 y2 2ïmn ¹ î0[解析]由ín = m n Þ ín = 4 ，椭圆 m + n = 1的离心率为 2 î1 2x2 + y 2 35，已知 +m nx2= 1(m > 0.n > 0) 则当 mn 取得最小值时，椭圆 m2y 2n2 = 1 的的离心率为 26，设椭圆 +a 2 b2=1（a＞b＞0）的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l11的距离，则椭圆的离心率是 。
2二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e则,631，在 RtD ABC 中， ÐA = 90o ， AB = AC = 1，如果一个椭圆过 A、B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 (e = -2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且ÐBDB1 = 90o椭圆的离心率为( )b b 2[解析] × (- ) = -1 Þ a - c2 = ac Þ e =5 - 1a c 233，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 - 1变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果3∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是 - 1x24,椭圆a2y2+b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e？c解 ：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜= 3c c+ 3c=2a ∴e= a= 3-1 x2 y2 变式（1）：椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，点 P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e= 3-1x2 y2 变式（2） 椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？b2 ｜PF1｜ b解：∵｜PF1｜=∴a2=5c2 e= a2 - c2a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴｜F2 F1｜= a 又 ∵b=变式(3):将上题中的条件“PF2 ∥AB”变换为“ PO ∥ AB ( O 为坐标原点)”x2相似题：椭圆a2y2a2 + b2+b2=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求 e?解 ：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2 e2+e-1=0 e= e= (舍去)x2变式(1):椭圆a2y2+b2=1(a>b >0)，e= , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90°引申：此类 e= 的椭圆为优美椭圆性质：（1）∠ABF=90°（2） 假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆3） 焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长 x 2 y 2变式(2): 椭圆+ b 2 = 1 (a＞b＞0)的四个顶点为 A、B、C、D，若四边形 ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，2a5 - 1则椭圆的离心率 e = 2 ．提示：内切圆的圆心即原点，半径等于 c，又等于直角三角形 AOB 斜边上的高，∴由面积得：a 2 + b 2ab = r × ，但 r = cx 2 y2a b4，设椭圆 2 + 2 =（1 a > b > 0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，如果椭圆上存在点 P，使ÐF1PF2 = 90° ，求离心率e 的取值范围解：设P(x, y), F1 (- c,0), F2 (c,0)法 1：利用椭圆范围® ® a 2 c 2 - a 2 b 2 a 2 (c 2 - a 2 )由F1P ^ F2 P 得x 2 + y 2 = c 2 ，将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得x 2 = = a 2 - b 2 e2由椭圆的性质知0 £ x 2 < a 2 ，得以eÎ[，1）。
22附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法 1 类似）法 2：判别式法由椭圆定义知| PF |+| PF |= 2a Þ| PF |2 +| PF |2 +2| PF || PF |= 4a 2 ，又因为ÐF1PF2 = 90° ，1 2 1 2 1 2可得| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 = 4c2 ，则| PF || PF |= 2(a2 - c2 ) = 2b 2 ，1 2 1 2 1 2\ 2 2 2 2 2 2 =c2 1 2PF1 ， PF2 是方程 z - 2az + 2b = 0 的两个根，则D = 4a - 8(a - c ) ³ 0 Þ e ³ Þ e ³ a 2 2 2解法 3：正弦定理设记ÐPF F = a，ÐPF F = a，由正弦定理有 | PF1 | = | PF2 | = | F1F2 | Þ | PF1 | + | PF2 | =| F F | 1 2 2 1又因为| PF1 | + | PF2 |= 2a，| F1F2 |= 2c ，且a+ a= 90osina sina sin 90° sina+sina 1 2则e = c =1 = 1 = 1 a a sina+ sin asina+ cos¶2 sin(a+ )42a a a 3a 2 a aQ 0
又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点 P，故有c ³ b Þ c2 ³ b2 = a 2 - c2x2变式(1)：圆a2y2+b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求椭圆的离心率 e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用｜F1F2｜解：由正弦定理：sin F1PF2根据和比性质：｜F1P｜= sin F1F2P = PF2 sin ÐPF1 F2｜F1F2｜sin F1PF2=｜F1P｜ + ｜PF2｜sinF1F2P + sin PF1F2 变形得：｜F1F2｜｜PF2｜ + ｜F1P｜sin F1PF2 =sin F1F2P + sin PF1F2 = 2c =e2asin90°∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e=sin75° + sin15° =sin F1PF2点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F1F2P + sin PF1F2x2变式(2)：椭圆a2y2+b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求椭圆离心率 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。
sin F1PF2 sin60° 解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e=sin F1F2P + sin PF1F2=sinα + sin(120° - α)= 1 1 12sin(α + 30°)≥2 ∴2≤e<1x y2 2变式(3)：过椭圆 a2 + b2 = 1( a > b > 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F2 为右焦点，若3ÐF1PF2 = 60o ，则椭圆的离心率 e 的值b2 ) ，再由ÐF PF= 603b2= 2a, 从而得e = c =解析：因为 P(-c, ±a1 2x 2 + y 2o 有 a a 3变式(4)：若 A, B 为椭圆a 2b 2 = 1(a > b > 0) 的长轴两端点， Q 为椭圆上一点，使ÐAQB = 1200 ，求此椭圆离心率的最小值{x2变式(5)：8、椭圆a 2£ e < 1 }63+ y2b 2 = 1 (a > b > 0)上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若 AF ^ BF ，设é a aùÐABF = a，且aÎ ê 12 , 4 ú ，则椭圆的离心率的取值范围为 ë û解析：设 F ¢ 为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形 AFBF ¢ 为平行四边形且为矩形， AB = 2c ，AF = 2c sina, BF = 2c cosa。