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(完整版)专题:椭圆的离心率解法大全,推荐文档

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专题:椭圆的离心率c æ b ö2一,利用定义求椭圆的离心率( e = 或 e2 = 1 - ç ÷ )a è a ø1,已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率 e = 325x y2 22,椭圆 +4 m= 1的离心率为 12,则 m = [解析]当焦点在 x 轴上时,4 - m = 1 Þ m = 3 ; 当焦点在 y 轴上时,= 1 Þ m = 16 ,m - 4m2 2 2 316综上 m = 或 3333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是5x2 y24,已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆 + = 1的离心率为 m nì2n = 2m + nï 2 2 ìm = 2 x2 y2 2ïmn ¹ î0[解析]由ín = m n Þ ín = 4 ,椭圆 m + n = 1的离心率为 2 î1 2x2 + y 2 35,已知 +m nx2= 1(m > 0.n > 0) 则当 mn 取得最小值时,椭圆 m2y 2n2 = 1 的的离心率为 26,设椭圆 +a 2 b2=1(a>b>0)的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l11的距离,则椭圆的离心率是 。

2二,运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e则,631,在 RtD ABC 中, ÐA = 90o , AB = AC = 1,如果一个椭圆过 A、B 两点,它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB 上,求这个椭圆的离心率 (e = -2, 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且ÐBDB1 = 90o椭圆的离心率为( )b b 2[解析] × (- ) = -1 Þ a - c2 = ac Þ e =5 - 1a c 233,以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点,椭圆的左焦点为 F1,直线MF1 与圆相切,则椭圆的离心率是 - 1变式(1):以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆,使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点,如果3∣MF∣=∣MO∣,则椭圆的离心率是 - 1x24,椭圆a2y2+b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率 e?c解 :∵|F1F2|=2c |BF1|=c |BF2|= 3c c+ 3c=2a ∴e= a= 3-1 x2 y2 变式(1):椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形,求椭圆离心率?解:连接 PF2 ,则|OF2|=|OF1|=|OP|,∠F1PF2 =90°图形如上图,e= 3-1x2 y2 变式(2) 椭圆a2 +b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,AB 为椭圆的顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1 ⊥X 轴,PF2 ∥AB,求椭圆离心率?b2 |PF1| b解:∵|PF1|=∴a2=5c2 e= a2 - c2a |F2 F1|=2c |OB|=b |OA|=a PF2 ∥AB ∴|F2 F1|= a 又 ∵b=变式(3):将上题中的条件“PF2 ∥AB”变换为“ PO ∥ AB ( O 为坐标原点)”x2相似题:椭圆a2y2a2 + b2+b2=1(a>b >0),A 是左顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求 e?解 :|AO|=a |OF|=c |BF|=a |AB|=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2 e2+e-1=0 e= e= (舍去)x2变式(1):椭圆a2y2+b2=1(a>b >0),e= , A 是左顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,求∠ABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。

答案:90°引申:此类 e= 的椭圆为优美椭圆性质:(1)∠ABF=90°(2) 假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆3) 焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长 x 2 y 2变式(2): 椭圆+ b 2 = 1 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、C、D,若四边形 ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点,2a5 - 1则椭圆的离心率 e = 2 .提示:内切圆的圆心即原点,半径等于 c,又等于直角三角形 AOB 斜边上的高,∴由面积得:a 2 + b 2ab = r × ,但 r = cx 2 y2a b4,设椭圆 2 + 2 =(1 a > b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2 ,如果椭圆上存在点 P,使ÐF1PF2 = 90° ,求离心率e 的取值范围解:设P(x, y), F1 (- c,0), F2 (c,0)法 1:利用椭圆范围® ® a 2 c 2 - a 2 b 2 a 2 (c 2 - a 2 )由F1P ^ F2 P 得x 2 + y 2 = c 2 ,将这个方程与椭圆方程联立,消去 y,可解得x 2 = = a 2 - b 2 e2由椭圆的性质知0 £ x 2 < a 2 ,得以eÎ[,1)。

22附:还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法 1 类似)法 2:判别式法由椭圆定义知| PF |+| PF |= 2a Þ| PF |2 +| PF |2 +2| PF || PF |= 4a 2 ,又因为ÐF1PF2 = 90° ,1 2 1 2 1 2可得| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 = 4c2 ,则| PF || PF |= 2(a2 - c2 ) = 2b 2 ,1 2 1 2 1 2\ 2 2 2 2 2 2 =c2 1 2PF1 , PF2 是方程 z - 2az + 2b = 0 的两个根,则D = 4a - 8(a - c ) ³ 0 Þ e ³ Þ e ³ a 2 2 2解法 3:正弦定理设记ÐPF F = a,ÐPF F = a,由正弦定理有 | PF1 | = | PF2 | = | F1F2 | Þ | PF1 | + | PF2 | =| F F | 1 2 2 1又因为| PF1 | + | PF2 |= 2a,| F1F2 |= 2c ,且a+ a= 90osina sina sin 90° sina+sina 1 2则e = c =1 = 1 = 1 a a sina+ sin asina+ cos¶2 sin(a+ )42a a a 3a 2 a aQ 0

又点 P 在椭圆上,因此该圆与椭圆有公共点 P,故有c ³ b Þ c2 ³ b2 = a 2 - c2x2变式(1):圆a2y2+b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0)、F2 (c,0),P 是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求椭圆的离心率 e分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用|F1F2|解:由正弦定理:sin F1PF2根据和比性质:|F1P|= sin F1F2P = PF2 sin ÐPF1 F2|F1F2|sin F1PF2=|F1P| + |PF2|sinF1F2P + sin PF1F2 变形得:|F1F2||PF2| + |F1P|sin F1PF2 =sin F1F2P + sin PF1F2 = 2c =e2asin90°∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e=sin75° + sin15° =sin F1PF2点评:在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F1F2P + sin PF1F2x2变式(2):椭圆a2y2+b2=1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0)、F2 (c,0),P 是椭圆上一点,且∠F1PF2 =60°,求椭圆离心率 e 的取值范围?分析:上题公式直接应用。

sin F1PF2 sin60° 解:设∠F1F2P=α,则∠F2F1P=120°-α e=sin F1F2P + sin PF1F2=sinα + sin(120° - α)= 1 1 12sin(α + 30°)≥2 ∴2≤e<1x y2 2变式(3):过椭圆 a2 + b2 = 1( a > b > 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若3ÐF1PF2 = 60o ,则椭圆的离心率 e 的值b2 ) ,再由ÐF PF= 603b2= 2a, 从而得e = c =解析:因为 P(-c, ±a1 2x 2 + y 2o 有 a a 3变式(4):若 A, B 为椭圆a 2b 2 = 1(a > b > 0) 的长轴两端点, Q 为椭圆上一点,使ÐAQB = 1200 ,求此椭圆离心率的最小值{x2变式(5):8、椭圆a 2£ e < 1 }63+ y2b 2 = 1 (a > b > 0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,若 AF ^ BF ,设é a aùÐABF = a,且aÎ ê 12 , 4 ú ,则椭圆的离心率的取值范围为 ë û解析:设 F ¢ 为椭圆左焦点,因为对角线互相平分,所以四边形 AFBF ¢ 为平行四边形且为矩形, AB = 2c ,AF = 2c sina, BF = 2c cosa。

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