第1课时 极坐标系的概念学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性．知识点 极坐标系思考1 某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？思考2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？梳理 极坐标系的概念(1)极坐标系的定义①取极点：平面内取一个________；②作极轴：自极点O引一条射线Ox；③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)．(2)点的极坐标①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为________；②意义：ρ＝__________，即极点O与点M的距离(ρ≥0)．θ＝______，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角．类型一 由极坐标画出点例1 根据下列极坐标作出各点．(1)A(1，)，B(2，)，C(3，)；(2)D(2，)，E(2，)，F(2，)，G(2，－)．反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置．通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”．跟踪训练1 根据下列极坐标，作出各点．A(5,0)，B(3，)，C(4，)，D(2，－)． 类型二 求点的极坐标例2 设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．引申探究1．若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标．2．若将极角θ改为θ∈R，求例2中的点的极坐标．反思与感悟 (1)设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．(3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．跟踪训练2 在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．类型三 极坐标系中两点间的距离例3 在极坐标系中，点O为极点，已知点A，B，求|AB|的值．引申探究在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标． 反思与感悟 在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝的两种特殊情形为①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.跟踪训练3 (1)在极坐标系中，两点A，B间的距离是________．(2)在极坐标系中，若△ABC的三个顶点为A，B，C，判断三角形的形状．1．极坐标系中，下列与点(1，π)相同的点为( )A．(1,0) B．(2，π)C．(1,2 016π) D．(1,2 017π)2．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )A. B.C. D.(k∈Z)3．点关于极点的对称点为________．4．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.1．极坐标系的四要素①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置．3．确定点的极坐标的方法点P的极坐标的一般形式为(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z，则(1)ρ为点P到极点的距离，是个定值．(2)极角为满足θ＋2kπ，k∈Z的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP的任意一个角，一般取绝对值较小的角． 答案精析问题导学知识点思考1 能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的．思考2 选一个点O为基点，射线OA为参照方向．梳理 (1)①定点O (2)①M(ρ，θ)②|OM| ∠xOM题型探究例1 解 如图，跟踪训练1 解 在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的．例2 解 如图所示，关于极轴的对称点为B.关于直线l的对称点为C.关于极点O的对称点为D. 引申探究1．解 B，C，D.2．解 B，C，D，(k∈Z)．跟踪训练2 解 作出图形，可知A(3，)关于直线θ＝的对称点是(3，)．例3 解 如图∠AOB＝－＝，∴△AOB为直角三角形，∴|AB|＝＝6.引申探究解 取AB的中点M，连接OM，在△AOB中，∠AOB＝，OA＝OB，∴∠AOM＝，∴∠xOM＝＋＝.又|OM|＝6×cos ＝3，∴M的极坐标为.跟踪训练3 (1)解析 |AB|＝＝.(2)解 因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos＝49，|AC|2＝52＋32－2×5×3×cos＝49，|BC|2＝82＋32－2×8×3×cos＝49.所以△ABC是等边三角形． 当堂训练1．D 2.C3.解析 如图，易知对称点为.4.解析 |AB|＝a ＝.。