第12讲 解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.【答案】(1)(2) .【详解】：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.【例2】的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，面积为2，求．【答案】（1）；（2）2．【详解】：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．【例3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【详解】：（1）由已知可得（2）又，的周长为【例4】已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.【答案】(1) (2)=2【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面积==,故=4，而故=8，解得=2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段（文））在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1),(2)【分析】（1）利用正弦定理化简求解即可.（2）利用三角函数的和差公式，得到，进而利用正弦定理可求出，利用面积公式即可求解.（1）由及正弦定理得，因为，则且，所以，即，则，可得，所以．（2），，所以，所以，故．【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，（1）求角 A （2）若，的面积为；求.【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得，因为，所以．由于，所以．又，故．（2）的面积，故，而，故．解得．2.已知分别是内角的对边， ．（1）若，求（2）若，且求的面积．【答案】（1）；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因为，由勾股定理得故，得所以的面积为13.（2021新高考2卷）在中，角、、所对边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.4.（2022·广东佛山·高三阶段）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边角转化、和角的正弦公式进行化简求值.（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求解.（1）由正弦定理可知：，得，因为，得，∵，∴，，∴，即．（2）由，得，由余弦定理可得：，又，，则，即，解得，故的面积为．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在中，角的对边分别为.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求外接圆的半径.【答案】(1),(2)1【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系求出，即可得解；（2）设外接圆的半径是，由正弦定理得到，，再由面积公式计算可得.（1）解：由得，且，解得或（舍去），由因为，所以，因为，所以，即，化简得，因为，所以.（2）解：设外接圆的半径是，因为，，所以，解得，故外接圆的半径是1.题型二 解三角形与三角恒等变换结合【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理可得，的面积；（2），，，.【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即①，又②， 将②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【例3】在中，满足 ．（1）求； （2）设，求的值.【详解】（1）∵，，∴变形为，即，利用正弦定理可得：，由余弦定理可得cosC=，即C=.（2）由（1）可得cos（A+B）=，A+B=，又cosAcosB=，可得，同时cos（）cos（）=，∴===-=，∴，∴或4.【题型专练】1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【分析】【详解】（1）即：由正弦定理可得： （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 由，所以.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段）已知在锐角中，.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）化简题干条件得到，从而根据是锐角三角形，得到，得到；（2）先根据锐角三角形得到，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到.（1）证明：由知：，即，所以，因为是锐角三角形，所以，在上单调递增，所以，即.（2）由锐角知：，，，解得：，故.3.在中，已知.（1）求证：；（2）求角的取值范围.【详解】证明：（1）根据正弦定理得：，得证．（2）由（1）知在中，又消去化简得：当且仅当时取等号，又为三角形的内角，题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为A． B． C． D．【答案】A【解析】：因为，且，所以，所以，则.由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.所以.故选：A【例2】的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1) ;(2).【分析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)解法一：因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是解法二：若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，且，解得，可得面积，．【例3】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）A． B．2 C． D．4【答案】A【解析】因为，所以，因，所以，由余弦定理得所以，所以，所以因因为，所以，注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）A． B．2 C． D．4【答案】A【解析】因为，，由余弦定理得所以因设，则，注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【答案】【解析】：由，且，故，又根据正弦定理，得，化简得，，故，所以，又，故．2.已知a，b，c分别为△ABC角A，B，C的对边，cos2A−cos2B−cos2C=cosAcosB+cosC−cos2B，且c=3，则下列结论中正确的是( )A. C=π3 B. C=2π3C. △ABC面积的最大值为34 D. △ABC面积的最大值为334【答案】BC【解答】解∵cos2A−cos2B−cos2C=cosAcosB+cosC−cos2B，∴(1−sin2A)−(1−sin2B)−(1−sin2C)=cosAcosB−cos(A+B)−(1−2sin2B)，∴sinAsinB+sin2B+sin2A−sin2C=0，由正弦定理可得ab+b2+a2−c2=0，∴cosC=b2+a2−c22ab=−12，又0
