数学九年级上册BS版第一章特殊平行四边形第一章特殊平行四边形专题专题1 1矩形、正方形中的四个常考模型矩形、正方形中的四个常考模型数学九年级上册BS版专题专题解解读读典例典例讲练讲练目目录录CONTENTS数学九年级上册BS版0 1专题专题解解读读数学九年级上册BS版返回目录返回目录问题综述 几何变换主要是平移、翻折、旋转三大变换，它们最大的特征都是只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小.四边形作为初中阶段最核心的内容之一，逐渐被用来作为呈现知识和能力的载体.常见模型如下：数学九年级上册BS版返回目录返回目录1.折叠中的“十字架”模型.如图，在正方形 ABCD 中，EG FH，则有 EG FH.数学九年级上册BS版返回目录返回目录2.旋转中的“手拉手”模型.如图，将 BPC 绕点 B 逆时针旋转90，可得到 BP A，则 BPP 为等腰直角三角形.数学九年级上册BS版返回目录返回目录3.旋转中的“K”模型.如图，在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，直角 EOF 绕点 O 旋转.若 OE，OF 分别与射线 DA，AB 交于点 G，H，则 AGO BHO，OGH 是等腰直角三角形.数学九年级上册BS版返回目录返回目录4.正方形中的半角模型.从正方形的一个顶点出发的两条线所夹的角等于正方形内角的一半，并且与正方形的边（或其延长线）相交.（1）如图1，在正方形 ABCD 中，若 EAF 45，则：EF BE DF；CEF 的周长为正方形 ABCD 边长的2倍；FA 平分 DFE，EA 平分 BEF；MN2 BM2 DN2.图1数学九年级上册BS版返回目录返回目录（2）如图2，在正方形 ABCD 中，若 EAF 45，FA 平分 DFE，则 EF DF BE.图2数学九年级上册BS版0 2典例典例讲练讲练数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型一折叠中的“十字架”模型 如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB3，BC9.在边 AD 上取一点 E，在 BC 上取一点 F，将纸片沿 EF 折叠，点 C 恰好落在点 A 处，点 D 落在点D 处，则线段 EF 的长度为 .【点拨】矩形的翻折变换其本质就是“十字架”模型，关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用勾股定理来解决线段长度问题.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 如图，在矩形 OABC 中，OA4，AB3，点D在边BC上，且CD 3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠.若点 A 的对应点 A 恰好落在边 OC 上，点B为点B 的对应点，则OE的长为 .数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型二旋转中的“手拉手”模型 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA1,PB2,PC3.你能求出APB的度数吗？图1数学九年级上册BS版返回目录返回目录小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转90，得到BP A，连接 PP，求出APB 的度数；思路二：将APB 绕点 B 按顺时针方向旋转90，得到CP B，连接 PP，求出APB 的度数.（1）请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；图1数学九年级上册BS版返回目录返回目录图2【点拨】正方形两邻边相等且垂直，联想到构造“手拉手”全等三角形解决问题.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 DB 的延长线上任意一点，以线段 BG 为边作一个正方形 BEFG，线段 CE 和 AG 相交于点 H.（1）求证：CE AG，CE AG；数学九年级上册BS版返回目录返回目录（2）若 AB 2，BG 1，求 CE 的长.数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型三旋转中的“K”模型 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,O 又是正方形 A1 B1 C1 O 的一个顶点，OA1交 AB 于点 E，OC1交 BC 于点 F.（1）求证：AOE BOF.数学九年级上册BS版返回目录返回目录（2）若两个正方形的边长都为 a，则正方形 A1 B1 C1 O 绕点 O 转动时，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出面积.【点拨】计算正方形中不规则图形的面积时，可利用割补法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是直线 AD 上的一点，连接 CE，以 CE 为一边作正方形 CEFG（点 C，E，F，G 按逆时针方向排列），直线 BE 与直线 GD 交于点 H.若 AE 2，AB 4，则点 F 到 GH 的距离为 .数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型四正方形中的半角模型 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 上一点，点 F 是 AD 延长线上一点，且 DF BE.（1）求证：CE CF.数学九年级上册BS版返回目录返回目录（2）若点 G 段 AD 上，且GCE 45，则 GE BE GD 成立吗？为什么？【点拨】解决半角模型问题的方法有两种.方法一：把半角一侧的三角形通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等来转化边和角，进而可以探究新的边边关系或角角关系；方法二：截长补短.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E，F 分别为 BC，CD 上一点，点 M 为 EF 上一点，点 D，M 关于直线 AF 对称.（1）求证：点 B，M 关于直线 AE 对称；证明：（1）如图，连接 DM，BM.点 D，M 关于直线 AF 对称，AF 垂直平分 DM.AD AM，FD FM.又 AF AF，DAF MAF（SSS）.AMF ADF 90.AME 90.又 AE AE，AB AM，Rt BAE Rt MAE（HL）.EB EM.AE 垂直平分 BM.点 B，M 关于直线 AE 对称.数学九年级上册BS版返回目录返回目录（2）求AG和AF的数量关系.数学九年级上册BS版演示完毕 谢谢观看。
