自考概率论与数理统计(经管类)2007年至2022年历年真题及答案详解(按7-9章归纳) - 图文 第七章 参数估计 20070422.设总体X具有区间[0,?]上的匀称分布〔??0〕,x1,x2,?,xn是来自该总体的样本,??___________. 那么?的矩估计?因为E(X)??2??2X. ,即??2E(X),所以?30.用传统工艺加工某种水果罐头,每瓶中维生素C的含量为随机变量X〔单位:mg〕.设X~N(?,?2),其中?,?2均未知.现抽查16瓶罐头进展测试,测得维生素C的平均含量为20.80mg,样本标准差为1.60mg,试求?的置信度95%置信区间.〔附:t0.025(15)?2.13,〕 t0.025(16)?2.12.解:确定n?16,x?20.80,s?1.60,??0.05,查得t?(n?1)?t0.025(15)?2.13,算得2t?/2(n?1)?sn?2.13?1.6016?0.852,?的置信度95%置信区间为〔单位:mg〕?ss?x?t(n?1)?,x?t(n?1)? ?/2?/2????20.80?0.852,20.80?0.852???19.948,21.652?.nn?? 200707??e??x,x?022.设总体X的概率密度为f(x)??,x1,x2,?,xn为总体X的一个样本,那么未?0,x?0??___________. 知参数?的矩估计?X~E(?),E(X)?1?,??1,所以???E(X)n?xii?1n. 24.设总体X听从参数为?的泊松分布,其中?为未知参数,X1,X2,?,Xn为来自该总体的一个样本,那么参数?的矩估计量为___________.1n?E(X)??,所以???Xi. ni?130.设工厂生产的螺钉长度〔单位:毫米〕X~N(?,?2),现从一大批螺钉中任取6个,测得长度分别为55,54,54,53,54,54.试求方差?2的置信度90%的置信区间.〔附:22?0.05(5)?11.07,?0.95(5)?1.15〕222解:确定n?6,查得???12??/2(n?1)??0??0.1,/2(n?1)??0.05(5)?11.07,.95(5)?1.15,6162算得x??xi?54,(n?1)s??(xi?x)2?2,?2的置信度90%的置信区间为〔单位:6i?1i?1平方毫米〕?(n?1)s2,?2????/2(n?1)??22??,??0.1807,???2?1??/2(n?1)???11.071.15?(n?1)s21.7391?. 200710 10.设总体X听从[0,2?]上的匀称分布〔??0〕,x1,x2,?,xn是来自该总体的样本,x为样本均值,那么?的矩估计??=〔 B 〕A.2x B.x C.x 2 D.12xE(X)?0?2???x. ??,所以?225.设总体X~N(?,?2〕,x1,x2,x3为来自X的样本,那么当常数a? ____________时,???11x1?ax2?x3是未知参数?的无偏估计. 421131?3?E(x1)?aE(x2)?E(x3)???a????,得?a?1,a?. 4244?4??)?由E(?30.一台自动车床加工的零件长度X〔单位:cm〕听从正态分布N(?,?2〕,从该车床加工的零件中随机抽取4个,测得样本方差s2?2,试求:总体方差?2的置信度为95%的置152222信区间.〔附:?0.025(3)?9.348,?0.975(3)?0.216,?0.025(4)?11.143,?0.975(4)?0.484〕解:确定n?4,s2?222,??0.05,查得??/2(n?1)??0.025(3)?9.348,1522?12??/2(n?1)??0.975(3)?0.216,算得(n?1)s?2?0.4,?2的置信度为95%的置信区间5为〔单位:cm2〕?(n?1)s2,?2?(n?1)??/2???0.4,???9.348?12??/2(n?1)???(n?1)s20.4???0.0428,0.216??1.8519?. 202201 ??24.设总体X ~N(?,1),x1,x2,x3为其样本,假设估计量?计量,那么k?___________.11x1?x2?kx3为?的无偏估23?)?由E(?11111?5?E(x1)?E(x2)?kE(x3)?????k????k????,得k?. 23236?6?27.设x1,x2,?,xn为来自总体X的样本,总体X听从(0,?)上的匀称分布,试求?的矩估计??,并计算当样本值为0.2,0.3,0.5,0.1,0.6,0.3,0.2,0.2时,??的估计值.2n?解:由E(X)?,得??2E(X),?的矩估计???xi,??的估计值为 ni?12?22.4(0.2?0.3?0.5?0.1?0.6?0.3?0.2?0.2)??0.6. 84 202204?1, ??2是总体参数?的两个估计量,24.设总体X~N(?,2),x1,x2,x3是简洁随机样本,??1=且?111111?2=x1?x2?x3,其中较有效的估计量是___________. x1?x2?x3,?24433322222232?1??1??1??1??1??1??1)????2????2????2?,?2)????2????2????2?, D(?D(?24443333?????????????1)?D(??2),较有效的估计量是??2. D(?25.某试验室对一批建筑材料进展抗断强度试验,确定这批材料的抗断强度X~N(?,0.09),现从中抽取容量为9的样本观测值,计算出样本平均值x=8.54,确定u0.025?1.96,那么置信度0.95时?的置信区间为___________.u?/2?0n?1.96?0.39?0.196,置信度0.95时?的置信区间为 ??0x?u?,?/2?n?x?u?/2??0????8.54?0.196,8.54?0.196???8.344,8.736?. n???x?(??1),x?126.设总体X的概率密度为f(x;?)??,其中?〔??1〕是未知参数,0,其他?x1,x2,?,xn是来自该总体的样本,试求?的矩估计??.此即教材P.150例7-9前半局部????1解:由E(X)????xf(x)dx???xdx????1????x1??1????1,得??E(X),?的矩估计E(X)?1??为?xx?1. 202207 ?X???21.设X1,X2,?,Xn是来自总体N(?,?)的样本,那么??i〔标出参数〕. ?~________??i?1?2n2Xi~N(?,?),那么2Xi????X???2~N(0,1),??i?~?(n). ??i?1?n222.假设总体X听从参数为?的泊松分布,0.8,1.3,1.1,0.6,1.2是来自总体X的样本容量为5的简洁随机样本,那么?的矩估计值为________________.??x?1(0.8?1.3?1.1?0.6?1.2)?1. E(X)??,那么?的矩估计值为?523.由来自正态总体X~N(?,0.92)、容量为9的简洁随机样本,得样本均值为5,那么未知参数?的置信度为0.95的置信区间是____________.〔u0.025?1.96,u0.05?1.645〕u?/2??0n?1.96?0.101?0.588,所求置信区间是 ??x?u?,?/2?n?x?u?/2?????[5?0.588,5?0.588]?[4.412,5.588]. n?202210222X~N(?,?),X,X,?,X?,?12nX10.设总体为来自总体的样本,均未知,那么?的无偏估计是〔 A 〕1n?11nnA.?(Xi?1ini?X)22B.1n?121n?1n?(Xi?1ini??)2C.?(Xi?1?X) D.?(Xi?1??)2注:由样本方差的期望等于?可推出2X~N(?,?),其中?2未知,现由来自总体X的一个样本x1,x2,?,x9算得24.设总体样本均值x?10,样本标准差s=3,并查得t0.025(8)=2.3,那么?的置信度为95%置信区间是_______.25.设总体X听从参数为?(??0)的指数分布,其概率密度为??e??x,x?0,f(x,?)??x?0.?0,由来自总体X的一个样本x1,x2,?,xn算得样本平均值x?9,那么参数?的矩估计??=_______. 202201 23.设总体X~N(?,?),X1,X2,?,X20为来自总体X的样本,那么?220(Xi??)2i?1?2听从参数为___________的?2分布.Xi???~N(0,1),?i?120(Xi??)2?2~?2(20). ?)___________,那么??是?的无偏估计. 24.设??是未知参数?的一个估计量,假设E(??)??. E(???e??x,x?027.设总体X听从指数分布,其概率密度为f(x,?)??,其中??0为未知参数,?0,x?0x1,x2,?,xn为样本,求?的极大似然估计.n???xii?1n解:x1,x2,?,xn均大于零时,似然函数为L(?)??f(xi,?)??nei?1,两边取对数,得lnL(?)?nln????xi,i?1n两边对?求导数,得dlnL(?)nn???xi, d??i?1令dlnL(?)1??1. ,?的极大似然估计为??0,得??1nd?x?xini?1注:此即教材P.149例7-8〔2〕. 202204 8.设总体X~N(?,?2),其中?未知,x1,x2,x3,x4为来自总体X的一个样本,那么以下关?1?于?的四个估计:??4??121111?2?x1?x2?x3,??3?x1?x2,(x1?x2?x3?x4),?4555661x1中,哪一个是无偏估计?〔 A 〕 7 ?1 A.??2 B.??3 C.??4 D.??1)??,??1是?的无偏估计. E(?24.设x1,x2,?,x25来自总体X的一个样本,X~N(?,52),那么?的置信度为0.90的置信区间长度为_______________.〔附:u0.05?1.645〕 区间长度为2u0.05??0n?2?1.645?525?3.29. 25.设总体X听从参数为?〔??0〕的泊松分布,x1,x2,?,xn为X的一个样本,其样本??_____________. 均值x?2,那么?的矩估计值???x?2. E(X)??,所以? 20220722.设总体X为指数分布,其密度函数为p(x;?)??e??x,x?0,x1,x2,?,xn是样本,故?的矩法估计??____________.?1由E(X)?,即??,得??E(X)??1n?xii?1n. 23.由来自正态总体X~N(?,12)、容量为101的简洁随机样本,得样本均值为10,那么未知参数?的置信度为0.95的置信区间是____________.(u0.025?1.96,u0.05?1.645)x?10,u?/2???x?u?,?/2?n??n?u0.025?1101?0.196, x?u?/2??????10?0.196,10?0.196???9.804,10.196?. n?24.假设总体X听从参数为?的泊松分布,X1,X2,?,Xn是来自总体X的简洁随机样本,?1n2其均值为X,样本方差S?确定??aX?(2?3a)S2为?的无偏估计,(Xi?X).?n?1i?12那么a?____________.留意到E(X)?E(X)??,E(S2)?D(X)??. 由E(?)??,即a。