惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图 1 所示任意有限平面图形， 取其单元如面积 dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydSyxdAxdAdSxydA整个图形对 y、 z 轴的静矩分别为x×CySyxdAA（ I-1）0AyxSxydAA2.形心与静矩关系图 I-1设平面图形形心 C 的坐标为 yC , zC则0ySx，Sy（I-2）AAx推论 1 如果 y 轴通过形心（即 x0 ），则静矩 Sy0 ；同理，如果 x 轴通过形心（即 y 0 ），则静矩 Sx 0 ；反之也成立推论 2 如果 x、 y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A1 , A2 , A3 An 的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为 x1 , y1； x2 , y2； x3 , y3 ，则图形对 y 轴和 x 轴的静矩分别为nnSySyiAi xii 1i1（I-3）nnSxSxiAi yii 1i1截面图形的形心坐标为n nAi xiAi yixi 1，yi 1（I-4）nnAiAii 1i14.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的， 故静矩与坐标轴有关。
2) 静矩有的单位为 m3 3) 静矩的数值可正可负，也可为零图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零， 则该轴必通过图形的形心4) 若已知图形的形心坐标 则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（ I-2）求图形的形心坐标组合图形的形心位置，通常是先由式（ I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（ I-4）求出其形心坐标二） .惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A（图 I-3），则图形对 O 点的极惯性矩定义为I p2 dA（I-5）A图形对 y 轴和 x 轴的光性矩分别定义为I yx 2 dA ，I xy 2 dA（I-6）AA惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的； 轴惯性矩是对某一坐标轴定义的2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为 m 4 3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值4） 图形对某一点的极惯性矩的数值， 恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即I pA2 dA(x 2y 2 )dA I y I xA（ I-7）（5） 组合图形（图 I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即nn， Ixn（I-8）II i， I yI yiI xii1i 1i 1yx1C1A1yx2C 2xdAA2yxnC nAny10x0 yn y2 x图I-2 图I-32. 惯性积定义 设任意形状的截面图形的面积为 A（图 I-3），则图形对 y 轴和 x 轴的惯性积定义为I xyxydA（ I-9）A惯性积的特征（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。
2） 惯性积的单位为 m 4 3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零若一对坐标周中有一轴为图形的对称轴， 则图形对这一对称轴的惯性积必等于零但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积， 等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即n（I-10）I xyI xyii 13. 惯性半径定义： 任意形状的截面图形的面积为 A（图 I-3）,则图形对 y 轴和x 轴的惯性半径分别定义为i yI yi xI x（ I-11），AA惯性半径的特征（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的2） 惯性半径的单位为 m3） 惯性半径的数值恒取证之三） .惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式I xI xCa 2 A（I-12）I yI yCb2 AI xyI xCyCabA（ I-13）平行移轴公式的特征（1）意形状界面光图形的面积为 A（图（ I-4）； xC， yC 轴为图形的形心轴； x， y 轴为分别与 xC， yC 形心轴相距为 a 和 b 的平行轴2）两对平行轴之间的距离 a 和 b 的正负，可任意选取坐标轴 x， y 或形心 xC， yC 为参考轴加以确定。
3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小yyCdAbCxCa0x图 I-4(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式 .主惯性轴主惯性矩转轴公式I xI xI yI xI ycos 2I xy sin 2122I yI xI yI xI ycos2I xy sin 2122I x y1I xI ysin 2I xy cos 212转轴公式的特征(1) 角度 的正负号，从原坐标轴 x,y 转至新坐标轴 x1 , y1 ，以逆时针转向者为正（图 5）2) 原点 O 为截面图形平面内的任意点， 转轴公式与图形的形心无关3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即I x I y I x1 I y1 I P主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点 O 为坐标原点的坐标轴 x0 、 y0 的惯性积为零（ I x0 y0 0），则坐标轴 x0 、 y0 称为图形通过点 O 的主惯性轴 (图 6)截面图形对主惯性轴的惯性矩 I x0 , I y0 ，称为主惯性矩主惯性轴、主惯性矩的确定(1) 对于某一点 O，若能找到通过点 O 的图形的对称轴， 则以点 O为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点 O 的一对主惯性轴。
对于具有对称轴的图形（或组合图形） ，往往已知其通过自身形心轴的惯性矩于是，图形对通过点 o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算2)若通过某一点o 没有图形的对称轴，则可以点o 为坐标原点，任作一坐标轴x，y为参考轴，并求出图形对参考轴x，y的惯性矩 I x , I y 和惯性积 I xy 于是，图形通过点 o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为tan22I xy（I-16）0I xI yI x0I x I yI xI y2I xy2(I-17)I y 022主惯性轴、主惯性矩的特征（ 1）图形通过某一点 O 至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点 O 所有轴的惯性矩中最大和最小 2）主惯性轴的方位角 0 ，从参考轴 x，y 量起，以逆时针转向为正 3）若图形对一点 o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点 o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同 4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴， 称为形心主惯性轴图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩y yy1 x1 y00 x0 xA0图 I-5图 I-6二.典型例题分析例 I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的 x 轴的静矩。
解：计算此截面对于 x 轴的静矩 Sx 时，可以去平行于 x 轴的狭长条 (见图 )作为面积元素（因其上各点的 y 坐标相等），即 dAb( y)dy 由相似三角形关系， 可知 :b( y)by) ,因此有 dAb( h( h y)dy 将其代入公式（ I-1）的第二式，即得hhSxydAh bhb h2bh 2( h y) dyb ydyydyA0 h。