重难点突破：平面向量最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一 数量积的最值问题例题1： 平面向量满足，则最小值是______分析：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可【解析】如图建系可得： 由可得： 而，由轮换对称式不妨设，则 ， 例题2： 已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为 . 【分析】本题由于为过的任一直线，所以的值不确定，从而不容易利用三边向量将进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线方程，与方程联立解出坐标，从而可解出最大值【解析】以为轴建立直角坐标系， 设直线，由可得： 得：；得： 若直线与相交，则； 例题3： 如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）A． B． C．1 D．例题4： 在矩形中，，，若，分别在边，上运动（包括端点，且满足，则的取值范围是__________． 例题5： 已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【解析】，设，设，又的取值范围为，故选C 例题6： 已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 【解析】令＝＝＋＋＝，当时，＝，因为，所以，则建立直角坐标系，，，设，则，，所以＝＝；当时，＝＋≥，解得，所以，则建立直角坐标系，，，设，则，，所以＝＝．综上所述，当时，取得最小值 题型二 向量模长的最值问题例题7： 已知为单位向量，且，向量满足，则范围为 【解析】如图，，又例题8： 向量满足 与的夹角为，，则的最大值为（ ）【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围．【解析】设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立直角坐标系∵ 与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）∵，∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离．∵圆心到B的距离为，∴的最大值为 例题9： 已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是__________．【解析】 ，表示与的距离之和的倍，当共线时，取得最小值，即有，故答案为． 题型三 向量夹角的最值问题例题10： 已知非零向量满足，若函数 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 【解析】，设和夹角为，因为有极值，所以，即，即，所以例题11： 非零向量满足=，，则夹角最小值是 【解析】由题意得，，整理得，即，，，夹角的最小值为例题12： 已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（ ）A． B． C． D． 题型四 平面向量系数的最值问题例题13： 已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 【分析】与的夹角为锐角等价于，且与不共线同向，所以由，得，再除去与共线同向的情形．【解析】由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且．例题14： 已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是 【解析】如图 三点共线， ∵是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故，当且仅当等号成立例题15： 如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为 【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，所以，化简得，解得题目所给图像可知．由基本不等式得即．当且仅当，即时，等号成立，故最小值为．例题16： 直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为________【解析】以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，∴可设， 因为，所以 ， ，即的最大值为故答案为． 题型五 平面向量与三角函数相结合的最值问题例题17： 已知向量，，．（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【解析】（1）因为，，，所以．若，则，与矛盾，故．于是．又，所以．（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值 题型六 平面向量与二次函数相结合的最值问题例题18： 在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______．【解析】设，，所以，当时，取得最小值．例题19： 在四边形中，，，，，，点段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【分析】如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数性质求最大值.【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，，因为点段的延长线上，设，，解得，，，，所在直线的方程为 ，因为点在边所在直线上，故设，，当时故选：【小结】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题题型七 平面向量与基本不等式相结合的最值问题例题20： 若平面向量，满足：；则的最小值是．【解析】，例题21： 在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别段和上，且，，则的最小值为 ．【解析】 因为，，，，，当且仅当即时的最小值为 例题22： 已知点A段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【分析】本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.【解析】由可得， ，根据A、B、C三点共线可得，且，所以所以最小值为，故填.题型八 平面向量与圆相结合的最值问题例题23： 在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是 ．【解析】设，由，得，向量，故的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，其最大值为圆的圆心到点的距离加上圆的半径，即．例题24： 已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为A． B． C． D．【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设，代入得，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．例题25： 若过点的直线与相交于两点，则取值范围______【解析】本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。
所以进而的范围是例题26： 已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________【分析】题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大即，只需计算的模长即可【解析】当与同向时，在上的投影最大，在中，， 即 ，例题27： 给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是思考方向一 ：考虑特值法解法1 当与重合时，，当与重合时，，当从的端点向圆弧内部运动时，， 于是猜想当是的中点时，取到最大值. 当是的中点时，由平面几何知识是菱形，∴∴猜想的最大值是.思考方向二：考虑坐标法建立如图3，所示的平面直角坐标系，设，则.于是可化为：，∴（1）解法2：函数法求最值由方程组（1）得： ∴，又，∴当时，解法3：不等式法求最值 由方程组（1）得：，∴，由，及得：，∴，∴，当且仅当时取等号，∴思考方向三：考虑向量的数量积的运算解法：两边点乘同一个向量∵∴设，则 ，又，∴，∴，∴当时，解法5：两边平方法∵∴∴，∴，当且仅当时取等号，∴思考方向四：考虑平行四边形法则 过作∥交于，作∥交于，则是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：，在中，设，则 ， 且解法6：利用正弦定理，，由等比性值得：，∴，∴当时，解法7：利用余弦定理∴，∴，当且仅当时取等号，∴小结：仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数法和不等式法.当然，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的. 题型九 平面向量与三角形相结合的最值问题例题28： 在中，已知，，，则的面积的最大值为（ ）A． B． C． D．【分析】，而又由余弦定理可得，再利用基本不等式即可解决.【解析】在中，由，及余弦定理可得，又（当且仅当时取等号），所以，即.因为，所以为的中点，所以的面积，所以，所以的面积的最大值为.故选：B.【小结】本题考查余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生运算求解能力，是一道中档题.例题29： 已知平面向量满足 ，且与的夹角为，则的取值范围是___________【分析】本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。
从图中可观察到构成，，从而可利用正余弦定理求出即的取值范围【解析】在中，由正弦定理可得： 而 例题30： 如图，在直角三角形中，，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是_______【分析】直角三角形直角边已知，且为图形内动点，所求不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理设，可得，而所在范围是一块区域，所以想到用线性规划求解【解析】以为轴建立直角坐标系，设 ； 数形结合可得： 模块二、真题赏析1. 【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则,令0.又因为可取遍，所以当时，有最小值.因为和的取值不相关，或，所以当和分别取得最大值时，y有最大值，所以当时，有最大值.故答案为0；.【小结】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题. 2. (2018天津)如图，在平面四边形中，，，，． 若点为边上的动点，则的最小值为A． B． C． 。
