名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一、函数与几何综合的压轴题1. （ 2004 安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中， AB、 CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为 B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A〔-2,-6〕, C〔1,-3〕(1) 求证： E 点在 y 轴上；(2) 假如有一抛物线经过 A， E， C 三点，求此抛物线方程 .(3) 假如 AB 位置不变，再将 DC 水平向右移动 k〔 k>0〕 个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E′点，如图②，求△ AE ′ C 的面积 S 关于 k 的函数解析式 .y yB D B DO x O x E E′C（ 1， -3 ）C（ 1+k，-3）A（ 2， -6）A（ 2， -6）图②图①[ 解] （ 1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过 E 作 EO ′⊥ x 轴，垂足 O′∴ AB ∥ EO ′∥ DC∴ EO DO , EO BOAB DB CD DB又∵ DO ′B+O′D=B∴ EO EO 1 AB DC∵ AB=6， DC =3 ，∴ EO′=2又∵ DO EO ，∴ DO DB ABEO DB AB2 3 16∴ DO ′D=O ，即 O′与 O 重合， E 在 y 轴上方法二：由 D （ 1， 0）， A（ -2 ， -6），得 DA 直线方程： y=2x-2① 再由 B（ -2， 0）， C（ 1 ， -3），得 BC 直线方程： y=-x -2 ② 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载x 0联立①②得y 2∴ E 点坐标（ 0， -2 ），即 E 点在 y 轴上（ 2）设抛物线的方程 y=ax2 +bx+c〔a≠ 0 过〕A（ -2 ， -6）， C（ 1， -3 ）4a 2b c 6E（ 0， -2）三点，得方程组a b c 3c 2解得 a=-1, b=0, c=-2∴抛物线方程 y=- x2-2（ 3）（本小题给出三种方法，供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移 k 后，过 AD 与 BC 的交点 E′作 E′F ⊥ x 轴垂足为 F ；同（ 1）可得：E F E FAB DC1 得： E′F =2方法一：又∵ E′F∥ AB E F DF ，∴ DFAB DB1 DB3S△ AE′C= S△ ADC- S△ E′DC =11 DC DB 1 DC DF 1 DC 2 DB2 2 2 3= DC DB =DB=3+ k3S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA∥ DC ，∴ S△ BCA=S△ BDA∴ S△ AE ′C= S△ BDE ′ 1 BD E F 1 3 k 2 3 k2 2∴ S=3+ k 为所求函数解析式 .证法三： S△ DE ′C∶ S△ AE ′C=DE ′∶ AE′D=C ∶ AB =1∶ 2′′同理： S△ DE C∶ S△DEB=1∶ 2,又∵ S△DE C∶ S△ ABE =DC 2∶ AB2=1∶ 4′′∴ S 2 S 2 1 AB CD BD 3 kAE C 梯形 ABCD9 9 2∴ S=3+ k 为所求函数解析式 .2. （ 2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点 M （ 1， 0）为圆心、直径 AC 为 2 2 的圆与 y 轴交于 A 、D 两点 .（ 1）求点 A 的坐标；（ 2）设过点 A 的直线 y＝ x ＋ b 与 x 轴交于点 B. 探究：直线 AB 是否⊙ M 的切线？并对你的结论加以证明； 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（ 3）连接 BC ，记△ ABC 的外接圆面积为 S1、⊙ M 面积为 S2，如S1 h，抛物线S2 4y＝ ax 2＋ bx ＋ c 经过 B 、M 两点， 且它的顶点到 x 轴的距离为 h .求这条抛物线的解析式 .2 2[ 解] （ 1）解：由已知 AM ＝ 2 ， OM ＝ 1，在 Rt△ AOM 中， AO ＝AM OM 1，∴ 点 A 的坐标为 A （ 0， 1）（ 2）证：∵直线 y＝ x＋ b 过点 A （ 0， 1）∴ 1＝ 0＋ b 即 b＝ 1 ∴ y＝ x ＋ 1令 y ＝ 0 就 x ＝－ 1 ∴ B（ — 1， 0），AB ＝BO2 AO 212 12 2在△ ABM 中， AB ＝ 2 ， AM ＝ 2 ， BM ＝ 2AB 2AM 2〔 2 〕2〔 2〕 24 BM 2∴△ ABM 是直角三角形，∠ BAM ＝ 90°∴ 直线 AB 是⊙ M 的切线（ 3）解法一：由⑵得∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ 2 ， AC ＝ 2 2 ，∴ BC ＝AB 2 AC 2〔 2〕 2〔2 2〕 2 10∵∠ BAC ＝ 90° ∴△ ABC 的外接圆的直径为 BC ，∴ S1BC 2〔 〕210 2 5 y〔 〕2 2而 S2S1〔 AC 〕 22h 即A〔 2 2 〕2 2M2·5Bx2 h , h 5S2 4 ， 2 4 D C设经过点 B（ — 1， 0）、 M （ 1， 0）的抛物线的解析式为：y＝ a（＋ 1）（ x－ 1），（ a≠0）即 y＝ ax2－ a，∴－ a＝ ±5，∴ a＝ ±5∴抛物线的解析式为 y＝ 5x2－ 5 或 y＝－ 5x2＋ 5解法二：（接上） 求得∴ h＝ 5由已知所求抛物线经过点 B（ —1， 0）、 M （ 1、 0），就抛物 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（ 0， ±5）∴抛物线的解析式为 y＝ a（ x－ 0） 2±5又 B（－ 1,0）、 M （ 1,0 ）在抛物线上，∴ a±5＝ 0， a＝ ±5∴抛物线的解析式为 y ＝ 5x2 － 5 或 y ＝－ 5x2 ＋ 5解法三：（接上）求得∴ h＝ 5由于抛物线的方程为 y＝ ax2＋ bx＋ c（ a≠0）a b c 0 a＝－ 5 a 5由已知得a b c 0解得 b 0或 b 04ac b 254 ac 5 c 5∴抛物线的解析式为 y ＝ 5x2 － 5 或 y ＝－ 5x2 ＋ 5.3.〔2004 湖北荆门 〕如图，在直角坐标系中，以点 P（1，－ 1）为圆心， 2 为半径作圆，交x 轴于 A 、B 两点，抛物线 yax 2bx c〔 a0) 过点 A 、B ，且顶点 C 在⊙ P 上.〔1〕求⊙ P 上劣弧⌒AB 的长；〔2〕求抛物线的解析式； 〔3〕在抛物线上是否存在一点 D，使线段 OC 与 PD 相互平分？如存在， 求出点 D 的坐标；如不存在，请说明理由 . y[ 解] （ 1）如图，连结 PB，过 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M.A B在 Rt△ PMB 中， PB=2,PM=1,∴∠ MPB ＝ 60°，∴∠ APB ＝ 120 °O · xP（ 1，－ 1）⌒AB 的长＝120 2 4 C180 3y（ 2）在 Rt△ PMB 中， PB=2,PM=1, 就 MB ＝ MA ＝ 3 .又 OM=1 ，∴ A（ 1－ 3 ， 0）， B （ 1＋ 3 ， 0）， A M BO · x由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上，就 C〔1 ，－ 3〕.P（ 1，－ 1）C 第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载点 A 、B 、C 在抛物线上，就0a〔123 〕b〔13 〕c0a〔13 〕2b〔13 〕c解之得a 1b 23 a b c c 2抛物线解析式为 yx 2 2 x 2（ 3）假设存在点 D ，使 OC 与 PD 相互平分，就四边形 OPCD 为平行四边形，且PC∥ OD.又 PC∥ y 轴，∴点 D 在 y 轴上，∴ OD ＝ 2，即 D （ 0，－ 2） .又点 D（ 0，－ 2）在抛物线 yx2 2x2 上，故存在点 D（ 0，－ 2），使线段 OC 与 PD 相互平分 .4. （ 2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内， Rt△ ABC 的直角顶点 C（ 0， 3 ）在 y 轴的正半轴上， A、B 是 x 轴上是两点，且 OA∶ OB＝ 3∶ 1，以 OA 、OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E，交 BC 于点 F .直线 EF 交 OC 于点 Q.（ 1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想 .（ 3）在△ AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作 MN ∥AB 交 OC 于 点N.试问：在 x 轴上是否存在点 P，使得△ PMN 是一个以 MN 为始终角边的等腰直角三角形？如存在，求出 P 点坐标；如不存在，请说明理由 .[ 解] 〔1〕 在 Rt△ ABC 中， OC⊥ AB，∴△ AOC ≌△ COB .∴ OC2＝ OA ·OB .∵ OA∶ OB＝ 3∶ 1,C〔0, 3 〕,EA O1yCQFO O2 B x∴ 〔 3〕 2 3OB OB. y∴ OB＝ 1.∴ OA＝ 3.∴ A〔-3。