第,6,节指数函数,高考总,复习优化设计,GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI,2026,强基础,固本增分,研考点,精准突破,目 录 索 引,01,02,课 标 解 读,1,.,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念,.,2,.,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,.,强基础,固本增分,知识梳理,1,.,指数函数的概念,函数,y=a,x,(,a,0,且,a,1),叫做指数函数,其中指数,x,是自变量,定义域为,R,.,教材知识深化,形如,y=ka,x,y=a,kx+b,+h,(,a,0,且,a,1,k,0),等的函数称为指数型函数,不是指数函数,.,2,.,指数函数的图象与,性质,y=a,x,0,a,1,图象,“,撇增,捺减,”,图象,定义域,R,值域,性质,过定点,(0,1),即,x=,0,时,y=,1,当,x,0,时,0,y,1,;,当,x,1,当,x,0,时,y,1,;,当,x,0,时,0,y,0,且,a,1),的图象,应,抓住三个关键点,:(1,a,),(0,1),(,-,1,),.,2,.,底数,a,的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是,a,1,还是,0,a,0,且,a,1),的图象关于,y,轴对称,.,4,.,指数函数的图象以,x,轴为渐近线,.,自主诊断,一、基础自测,1,.,思考辨析,(,判断下列结论是否正确,正确的画,“,”,错误的画,“”),(1),函数,f,(,x,),=,的值域为,(0,+,),.,(,),(2),若函数,f,(,x,),是指数函数,且,f,(1),1,则,f,(,x,),是增函数,.,(,),(3),若,a,m,a,n,(,a,0,且,a,1),则,mn.,(,),(4),函数,f,(,x,),=a,x+,3,-,2(,a,0,且,a,1),的图象恒过定点,(,-,3,-,1),.,(,),2,.,(,人教,B,版必修第二册,4,.,1,.,2,节例,2,改编,),已知实数,a,b,满足,(,),a,(,),b,则,6,a,6,b,.,(,用,“,”,或,“,”,填空,),(,),b,可知,ab,.,又,因为,y=,6,x,在实数集,R,上是增函数,所以,6,a,ab,B.,cba,C.,abc,D.,bac,D,解析,因为函数,y=,1,.,01,x,为增函数,所以,1,.,01,0,.,6,1,.,01,0,.,5,1,.,01,0,=,1,.,又,0,.,6,0,.,5,1,.,01,0,.,5,0,.,6,0,.,5,即,bac.,故选,D,.,5,.,(2021,新高考,13),已知函数,f,(,x,),=x,3,(,a,2,x,-,2,-x,),是偶函数,则,a=,.,1,解析,函数,f,(,x,),=x,3,(,a,2,x,-,2,-x,),是偶函数,f,(,x,),=f,(,-x,),即,x,3,(,a,2,x,-,2,-x,),=,(,-x,),3,整理得,a,2,x,-,2,-x,=-,即,(,a-,1),2,x,+,(,a-,1),2,-x,=,0,.,(,a-,1)(2,x,+,2,-x,),=,0,.,a=,1,.,研考点,精准突破,考点一指数函数的图象及其应用,例,1,(1)(,多选题,),已知实数,a,b,满足等式,3,a,=,6,b,则下列可能成立的关系式,为,(,),A.,a=b,B.0,ba,C.,ab,0D.0,a,1,时,若,3,a,=,6,b,=k,则,0,ba,故选项,B,正确,;,作出,直线,y=m,当,0,m,1,时,若,3,a,=,6,b,=m,则,ab,0,故选项,C,正确,;,当,0,a,1,则,3,a,3,b,2,b,3,b,=,6,b,故选项,D,错误,.,(2),若函数,f,(,x,),=|,2,x,-,2,|-b,有两个零点,则实数,b,的取值范围是,.,(0,2),解析,在同一平面直角坐标系中画出函数,y=|,2,x,-,2,|,与,y=b,的图象,如图所示,.,当,0,b,0,且,a,1),的图象可由函数,y=a,x,(,a,0,且,a,1),的图象向左,(,b,0),或向右,(,b,0,且,a,1),的图象向上,(,b,0),或向下,(,b,0,且,a,1),的图象经过第二、三、四象限,则一定有,(,),A.0,a,1,且,b,1,且,b,0,C.0,a,0D.,a,1,且,b,0,A,解析,如图所示,从图象上可以看出,y=a,x,+b-,1,是减函数,则,0,a,1,图象与,y,轴的交点在,y,轴的负半轴上,即,a,0,+b-,1,0,可得,b,0,所以,0,a,1,且,b,0,且,a,1),的图象有两个公共点,则,a,的,取值,范围,是,.,(0,),解析,当,0,a,1,时,y=|a,x,-,1,|,的图象如图,1,.,因为,y=,2,a,与,y=|a,x,-,1,|,的图象有两个交点,所以,0,2,a,1,所以,0,a,1,时,y=|a,x,-,1,|,的图象如图,2,而,此时直线,y=,2,a,不可能与,y=|a,x,-,1,|,的图象有两个交点,.,综上,a,的取值范围是,(0,),.,图,1,图,2,考点二指数函数的性质及其应用,(,多考向探究预测,),考向,1,比较指数幂的大小,例,2,(1)(2024,江西赣州模拟,),已知函数,f,(,x,),=,e,x,若,a=f,(4,0,.,99,),b=f,(2,1,.,99,),c=f,(ln 2),则,a,b,c,的大小关系为,(,),A.,abc,B.,acb,C.,cab,D.,cb,2,1,.,98,=,4,0,.,99,2,0,=,1,ln,2,因此,f,(2,1,.,99,),f,(4,0,.,99,),f,(ln,2),即,cab,故选,C,.,(2)(2024,辽宁大连模拟,),已知,a=,(,),-,0,.,3,b=,1,.,1,0,.,7,c=,(,则,a,b,c,的大小关系,为,(,),A.,cba,B.,bac,C.,cab,D.,bca,C,解析,因为函数,y=,(,),x,在,R,上单调递减,所以,a=,(,),-,0,.,3,=,(,),0,.,3,(,),0,=,1,即,a,(0,1,);,c,=,(,0,.,3,则,(,c,.,因为,函数,y=,1,.,1,x,在,R,上单调递增,则,b=,1,.,1,0,.,7,1,.,1,0,=,1,.,综上,bac,故选,C,.,对点训练,2,(1)(2024,四川模拟预测,),设,a=,0,.,5,0,.,4,b=,0,.,4,1,.,1,c=,1,.,1,0,.,5,则下列关系正确的是,(,),A.,acb,B.,cab,C.,abc,D.,bac,D,解析,因为指数函数,y=,0,.,5,x,是减函数,所以,0,.,5,1,.,1,0,.,5,0,.,4,0,.,5,1,.,1,0,.,4,1,.,1,又,因为指数函数,y=,1,.,1,x,是增函数,所以,1,.,1,0,.,5,1,.,1,0,=,1,.,综上可得,bac,故选,D,.,(2)(2024,江苏宿迁模拟,),设,(,),b,(,),a,1,那么,(,),A.,a,a,a,b,b,a,B.,a,a,b,a,a,b,C.,a,b,a,a,b,a,D.,a,b,b,a,a,a,C,解析,(,),b,(,),a,1,且,y=,(,),x,在,R,上是减函数,0,ab,1,指数函数,y=a,x,在,R,上是减函数,a,b,a,a,幂函数,y=x,a,在,R,上是增函数,a,a,b,a,a,b,a,a,0,y=,(,的值域为,(0,1,故选,B,.,(2)(2024,江苏无锡模拟,),高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有,“,数学王子,”,的称号,用其名字命名的,“,高斯函数,”,为,:,设,x,R,用,x,表示不超过,x,的最大整数,则,y=,x,称为,“,高斯函数,”,例如,:,-,2,.,5,=-,3,2,.,7,=,2,.,已知函数,f,(,x,),=,则函数,f,(,x,),的值域是,(,),A.,-,1,1B.,-,1,0,C.(,-,1,1),D,.(,-,1,0),B,解析,(,方法一,),函数,f,(,x,),=,=,1,-,因为,e,x,0,所以,1,+,e,x,1,所以,0,1,.,因此,-,2,-,0,所以,-,1,1,-,1,即,-,1,f,(,x,),1,.,当,-,1,f,(,x,),0,时,f,(,x,),=-,1;,当,0,f,(,x,),0,所以,0,解得,-,1,f,(,x,),1,.,当,-,1,f,(,x,),0,时,f,(,x,),=-,1;,当,0,f,(,x,),1,时,f,(,x,),=,0,因此,f,(,x,),的值域为,-,1,0,故选,B,.,对点训练,3,(2024,北京西城模拟,),使函数,f,(,x,),=|,e,x,-a|,的值域为,0,+,),的一个,a,的值为,.,1,解析,令,f,(,x,),=|,e,x,-a|,由题意得,f,(,x,),的值域为,0,+,),又,y=,e,x,的值域为,(0,+,),所以,-a,0,故,a,的取值范围为,(0,+,),.,考向,3,解简单的指数方程或不等式,例,4,(1),已知函数,f,(,x,),=,+a,为奇函数,则方程,f,(,x,),=,的解是,x=,.,-,1,解析,因为函数,f,(,x,),=,+a,为奇函数且定义域为,R,故,f,(0),=,+a=,0,解得,a=-,经检验,当,a=-,时,f,(,x,),为奇函数,.,由,f,(,x,),=,得,解得,x=-,1,.,(2),不等式,(,),x-,2,的解集为,.,x|-,3,x,1,解析,因为,(,),x-,2,=,(2,-,2,),x-,2,=,2,-,2,x+,4,所以,2,-,2,x+,4,即,x,2,+,1,-,2,x+,4,即,x,2,+,2,x-,3,0,解得,-,3,x,1,故原不等式的解集为,x|-,3,x,1,.,对点训练,4,(1),已知实数,a,1,函数,f,(,x,),=,若,f,(1,-a,),=f,(,a-,1),则,a,的值为,.,解析,当,a,1,时,由,f,(1,-a,),=f,(,a-,1),得,2,a-,(1,-a,),=,4,a-,1,即,2,2,a-,1,=,2,2,a-,2,所以,2,a-,1,=,2,a-,2,无解,.,综上可知,a=,(2),不等式,10,x,-,6,x,-,3,x,1,的解集为,.,1,+,),解析,由,10,x,-,6,x,-,3,x,1,可得,(,),x,+,(,),x,+,(,),x,1,令,f,(,x,),=,(,),x,+,(,),x,+,(,),x,因为,y=,(,),x,y=,(,),x,y=,(,),x,均为,R,上的减函数,则,f,(,x,),在,R,上单调递减,且,f,(1),=,1,所以,f,(,x,),f,(1),所以,x,1,故不等式,10,x,-,6,x,-,3,x,1,的解集为,1,+,),.,考向,4,指数型函数的综合应用,例,5,(,多选题,)(2024,重庆云阳模拟,),若函数,f,(,x,),=,(,的图象经过点,(3,1),则,(,),A.,a=,1,B.,f,(,x,),在,(,-,1),上单调递减,C.,f,(,x,),的最大值为,81,D.,f,(,x,),的最小值为,AC,解析,对于,A,由题意得,f,(3),=,(,),9,a-,6,-,3,=,1,得,a=,1,故,A,正确,;,对于,B,令函数,u=x,2,-,2,x-,3,则该函数在区间,(,-,1),上单调递减,在区间,(1,+,),上单调递增,因为,y=,(,),u,在定义域,R,上为减函数,所以,f,(,x,),在区间,(,-,1),上单调递增,在区间,(1,+,),上单调递。