目录 第一讲与三角形有关的线段1 第二讲与三角形有关的角10 第三讲全等三角形的性质和判定22 第四讲全等的综合运用和角平分线38 第五讲生活中的轴对称59 第六讲轴对称与轴对称图形、最短路径问题73 第七讲幂的三种运算及整式乘除83 第八讲平方差公式和完全平方公式92 第九讲因式分解101 第十讲分式的运算、整数指数幂106 第十一讲分式方程及其应用115 第十二讲二次根式的基本性质129 第十三讲二次根式的计算135 第十四讲勾股定理144 第十五讲勾股定理及其逆定理155 第十六讲勾股定理的应用169 第十七讲期中模拟测试（另页） 第十八讲期末模拟测试（另页） 与三角形有关的线段 学生/ 课程八年级- 初二- 数学年级初二学科数学 授课教师日期时段 核心内容与三角形有关的线段课型 教学目标 1. 理解三角形与三角形相关的线段的概念，三角形三边关系，理解三角形的稳定性； 2. 三条重要线段及其运用；了解三角形的重心. 重、难点三边关系；角度的推理；等面积法运用 A. 1B. 2C. 3D. 4 A长方形B梯形C钝角三角形D正六边形 课首沟通 上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。
知识导图 课首小测 1. 单选题 ?如图所示，已知 1=2，3=4，则下列结论中： AD平分 BAF ； AF平分 DAC ； AE平分 DAF ； AE平分 BAC ，其中正确的个数为（） 2. 单选题 下列图形中，具有稳定性的是（） 第一讲： ACFBBECADDCD A. 2B. 3C6D.不能确定 3. 单选题 ?如图， ACB 90，AD BC ，BE AC ，CF AB ，垂足分别为点 D、点E、点F，ABC 中AC 边上的高是 （） 4. 单选题 如图，已知 BD 是ABC 的中线， AB=5 ，BC=3 ，ABD 和BCD 的周长的差是（） 5. 等腰三角形的周长是 22，一边长是 8，另外两边分别是 _ 导学一 ： 与三角形有关的线段 知识点讲解 1 ： 1. 与三角形相关的概念：由_直线上的三条线段 _相接所组成的图形叫做三角形； 2. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点为A，B，C的三角形可表示为“ ABC ” 3. 三角形按边的相等关系分类. 4、三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性 例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理 知识点讲解 2 ：三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，故同时满足ABC 三边长 a、b、c的不等式有： a+bc， b+ca，c+ab 推论：三角形任意两边之差小于第三边，故同时满足ABC 三边长 a、b、c的不等式有： ab-c， ba-c，cb-a 例 1. ?已知a，b，c是ABC 的三边长，化简 例 2. 如图， P是ABC 内一点，连接 BP ，PC ，延长 BP 交AC 于点D。
（1）图中有几个三角形 （2）求证： AB+AC PB+PC 【学有所获】我们得到：证明边的不等关系，想到_ 学有所获答案 三角形三边关系 我爱展示 1.已知 ABC 的三边分别为 a，b，c，化简_ 2.如图，四边形 ABCD 是凸四边形， AB=2 ，BC=4 ，CD=7 ，求线段 AD 的取值范围 3. 如图所示，已知 P是ABC 内任意一点，试说明 AB+AC PB+PC 导学二 ： 三角形的三线 知识点讲解 1 ：三角形的高 1. 定义：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高 如图，已知 AD 是ABC 的高，则 ADB= ADC=_ 2(1) 三角形的三条高是线段 (2) 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部， 直角三角形三条高的交点在直角顶点， 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部 3. 三角形的等面积法：求直角三角形斜边上的高常用方法 A. 1B. 3C5D.6 A.ABC 中，AD 是BC 边上的高B.GBC 中，CF 是BG 边上的高 C.ABC 中，GC 是BC 边上的高D.GBC 中，GC 是BC 边上的高 例 1. 单选题 ?如图所示，以 AD 为高的三角形有（）个 例 2. ?如图所示，在直角 ABC 中， C=90 。
（1）画出 ABC 的高CE ； （2）请写出计算三角形面积的两种方法： =_=_ （3）若AC=3 ，BC=4 ，AB=5 ，求CE 的长度 例 3. （1）如图，已知在 ABC 中，AB=AC ，AC 边上的高 BD=10cm ，求AB 边上的高 CE （2）如图，已知在 ABC 中，AB=AC ，AC 边上的高 BD=10cm ，P是BC 任意一点， PM AB 于点M ，PN AC 于点N，求PM+PN的 值 例 4. ?如图， ABO 的三个顶点的坐标分别为O （0，0），A（5，0），B（2，4）， （1）求 OAB 的面积； （2）若O 、A两点的位置不变， P点在什么位置时， OAP 的面积是 OAB 的2倍； （3）若B（2，4），O （0，0）不变， M 点在x轴上， M 点在什么位置时， OBM 的面积是 OAB 的2倍 我爱展示 1. 单选题 ?如图， AD BC 于点D，GC BC 于点C，CF AB 于点F，下列关于高的说法中错误的是（） 2.如图， ABC 中，AD ，CE 是ABC 的两条高， BC=5cm ，AD=3cm ，CE=4cm ，则AB 的长为 _。
3.已知等边 ABC 和点P，设点 P到ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别为，ABC 的高AM 为h，回答以下问题： （1）如图（ 1）若点 P在一边 BC 上，此时=0，可得结论 _.（结论用，h的关系式表示） （2）如图（ 2），当点 P在ABC 内，此时可得结论 _.（结论用，h的关系式表示） （3）如图（ 3），当点 P在ABC 外，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立， 和?h之间又有怎 样的关系？并说明理由 4.如图，点 A（1，0），B（2，0），C是y轴上一点，且 ABC 的面积为 1，求点 C的坐标 知识点讲解 2 ：三角形的中线 1. 定义：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 如图，已知 AD 是ABC 的中线，则 DB=DC= _ 2三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点 画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可 三中线交点叫重心 , 重心一定在三角形内部. 3. 三角形的中线将三角形的面积分为两个相等的部分 例 1. ?如图所示，在 ABC 中，已知点 D、E、F分别为边 BC 、AD 、CE 的中点，且 ABC 的面积是 4cm 2，则阴影部分面积等 于_。
例 2. 已知等腰 ABC 的周长是 25，一腰上的中线把三角形分成两个周长的差是4的三角形，求等腰三角形各边的长 我爱展示 1.如图，在 ABC 中，AD 为BC 边上的中线， ADC 的周长比 ABD 的周长多 5cm ，AB 与AC 的和为 11cm ，求AC 的长 2.如图，在三角形 ABC 中E是BC 上一点， EC=2BE ，点D是AC 的中点，设 ABC ，ADF ，BEF 的面积分别为， ， =12，则-=_ 3. 已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成18和12两部分，则等腰三角形的底边长为_ ，腰长为 _ 知识点讲解 3 ：三角形的角平分线 1. 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 如图，已知 AD 是ABC 的角平分线，则 DAB= DAC= _ 2三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线 三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部，三角形的角平分线的交点叫内心 三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画 例 1. ?已知： MON=40，OE 平分 MON ，点A、B、C分别是射线 OM 、OE 、ON 上的动点（ A、B、C不与点 O 重合），连接 AC 交射线 OE 于点D，设 OAC=x （1）如图 1，若AB/ON，则 ABO 的度数是 _； 当BAD= ABD 时，x=_；当 BAD= BDA 时，x=_. （2）如图 2，若AB OM ，则是否存在这样的 x的值，使得 ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明 理由。
我爱展示 1. 已知： MON=80，OE 平分 MON ，点A、B、C分别是射线 OM 、OE 、ON 上的动点（ A、B、C不与点 O 重合），连接 AC 交射 线OE 于点D，设 OAC=x （1）如图 1，若AB/ON，则 ABO 的度数是 _； 如图2，当 BAD= ABD 时，试求 x的值. （2）如图 3，若AB OM ，则是否存在这样的 x的值，使得 ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明 理由 限时考场模拟 ： _分钟完成 1.如果3x，4x，7是一个三角形的三边，那么x的取值范围是 _. 2.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是_. 3. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，三角形斜边是 10，则斜边的高是 _. 4.如图， ABC ，A=40 ， B=72 ，CE 平分 ACB ，CD AB 于D，DF CE ，则 CDF=_ . 5. 如图， ABC 中，AD 是BC 上的中线， BE 是ABD 中AD 边上的中线，若 ABC 的面积是 24cm2 ，则ABE 的面积为 _. 6.如图所示，已知 P是ABC 内一点，试说明 PA+PB+PC（AB+AC+BC） 7.已知AD 是ABC 的高， BAD=70 ， CAD=20 ，求 BAC 的度数. 8.已知a、b、c为ABC 的三边长， b、c满足，且a为方程的解，求 ABC 的周长，并 判断 ABC 的形状。
课后作业 1.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、 6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值 为 2.直角三角形的两条直角边分别是5和12，三角形斜边是 13，则斜边的高是 _. 3.如图， AD 是ABC 的中线， CE 是ACD 的中线， DF 是CDE 的中线，如果 DEF 的面积是 2，那么 ABC 的面积是 _ A、中线B、角平分线C、高D、垂直平分线 A、135B、45或135C、45D、都不是 4. 单选题 ?三角形的重心是三角形三条（）的交点 5. 单选题 ?直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（） 6. 单选题 ?一定在 ABC 内部的线段是（） A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、一条角平分线、三条中线 C.三条高、两条角平分线、任意三角形的一条中线D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 7.已知 ABC 的三边分别为 a，b，c，化简 8.已知 ABC ，AB=AC ，ABC 的周长是 16cm ，BD 为中线，且把 ABC 分成的两个小三角形周长的差是2cm ，求 ABC 各边 的长。
9.如图，已知： ABC 中，AD 是BC 边上的中线，试说明不等式AD+BD （AB+AC ）成立的理由 10.在ABC 中，AE 平分 BAC ，CB，且FD BC 于D点 （1）试推出 EFD ，B，C的关系； （2）当点 F在AE 的延长线上时，其余条件不变，你在题（1）推导的结论还成立吗？请说明理由 与三角形有关的角 学生/ 课程八年级 - 初一- 数学年级初二学科数学 授课教师日期时段 核心内容三角形的内角和、外角性质，多边形的内角和、外角性质课型 教学目标 1. 理解三角。