1.4 角平分线的性质,第1章 直角三角形,第2课时 角平分线的性质定理的逆定理,,1.理解角平分线的性质定理的逆定理.(难点） 2.掌握角平分线性质定理的逆定理内容的证明方法并应用其解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.,导入新课,问题引入,,,,,O,D,P,,,P到OA的距离,,P到OB的距离,角平分线上的点,,几何语言描述：,∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.,∴ PD= PE.,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,1.叙述角平分线的性质定理,不必再证全等,E,2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,讲授新课,角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,应用所具备的条件：,逆定理的作用：判断点是否在角平分线上.,应用格式：,∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.,∴点P 在∠AOB的平分线上.,已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.,证明：,作射线OP，,,∴点P在∠AOB 角的平分线上.,在Rt△PDO和Rt△PEO 中，,（全等三角形的对应角相等）.,OP=OP（公共边），,PD= PE（已知 ），,,,∵PD⊥OA,PE⊥OB.,∴∠PDO=∠PEO=90°，,∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.,∴∠AOP=∠BOP,,温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,,典例精析,例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？,,D,C,,S,解：作夹角的角平分线OC，,截取OD=2.5cm ,D即为所求.,O,典例精析,例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,,,,D,E,F,,,,证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.,∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,点P在∠A的平分线上.,这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.,结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.,,当堂练习,,1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.,小区C,,,,,A,O,B,M,N,,,,,2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．,解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．,P,,3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．,证明：,过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.,∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.,∴FG＝FM.,又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC，,∴FM＝FH，,∴FG＝FH.,∴点F在∠DAE的平分线上.,,,,,,,,G,H,,M,A,B,C,F,E,D,,,,课堂小结,角平分线 的性质定理的逆定理,内容,角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,作用,判断一个点是否在角的平分线上,结论,三角形的角平分线相交于内部一点,,,,,。