柯西 柯西，A．L．(Cauchy，Augustin－Louis)1789年8月21日生于法国巴黎； 1857年5月22日卒于法国斯科．数学、数学物理、力学． 柯西之父路易-弗朗索瓦(Cauchy，Louis－Francois)，1760年生于鲁昂，年轻时学习出色，1777年获巴黎大学颁发的会考荣誉奖，毕业后任诺曼第最高法院律师，后任鲁昂总督C．蒂鲁(Thi-roux)的秘书．1785年蒂鲁出任巴黎警察总监，弗朗索瓦成为他的首席幕僚．1794年蒂鲁被处决，弗朗索瓦举家迁居阿尔居埃避风．1799年雾月十八政变中，他积极支持拿破仑，于次年被新设的上议院选为负责起草会议纪要和执掌印玺的秘书，并安家于卢森堡宫． 弗朗索瓦亲自对长子柯西进行启蒙教育，教孩子语法、诗歌、历史、拉丁文和古希腊文．弗朗索瓦与P．S．拉普拉斯(Laplace)过从甚密，与J．L．拉格朗日(Lagrange)也交往颇多，所以柯西在童年时就接触到两位大数学家． 柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事情，在本上算数画图．这引起拉格朗日的注意．据说在1801年的一天，拉格朗日在弗朗索瓦办公室当着一些上议员的面说：“瞧这孩子！我们这些可怜的几何学家都会被他取而代之．” 但他也告诫弗朗索瓦，在柯西完成基本教育之前不要让他攻读数学著作． 1802年秋，柯西就读于先贤祠中心学校，主要学习古代语言．在校两年中，成绩优异，多次获奖．但他决心成为一名工程师．经过一年准备后，于1805年秋考入综合工科学校；1807年10月又以第一名的成绩为道路桥梁工程学校录取，并在1809年该校会考中获道桥和木桥大奖． 1810年初，柯西被派往瑟堡，任监督拿破仑港工程的工程师助理。
在他的行囊中，装有拉格朗日的《解析函数论》 (Trait desfonctions analytiques)和拉普拉斯的《天体力学》(Mcanique c-leste)年底，他被授予二级道桥工程师职务，其工作受到上级嘉奖，然而他把绝大部分业余时间用于钻研数学．在拉格朗日建议下，他研究了多面体，于1811年2月向法兰西研究院递交第一篇论文(文献[1]，(2)1，pp． 7—18)，证明了包括非凸情形在内，只存在9种正多面体．1812年1月，又向巴黎科学院递交第二篇论文(文献[1]，(2)1，pp．26—35)，证明具有刚性面的凸多面体必是刚性的．A．M．勒让德(Legendre)对两文极为欣赏．两个月后，柯西成为爱好科学协会通讯会员． 1812年底，由于健康状况下降，柯西返回巴黎，不久向科学院递交了关于对称函数的论文．就在这时，他确定了自己的生活道路：终生献给“真理的探索”即从事科学研究．1813年3月，他被任命为乌尔克运河工程师．1814—1815年拿破仑一世的惨败中断了运河工程，使他有时间潜心研究．他在1814年向法兰西研究院递交的论文中，有关于误差论的研究和标志他建立复变函数论起点的关于定积分的研究．1815年底，他以关于无限深流体表面波浪传播的论文获科学院数学大奖． 1815年7月，路易十八重返巴黎．11月，政府禁止L．普安索(Poinsot)在综合工科学校授课；12月初，宣布由柯西以替补教授名义接任普安索，讲授数学分析． 1816年3月，王室发布了重组法兰西研究院和巴黎科学院的敕令，清洗了一批院士，L．卡诺(Carnot)和G．蒙日(Monge)也在其中；同时柯西被国王任命为力学部院士．9月被任命为综合工科学校分析学和力学正式教授，为一年级新生讲授数学分析． 柯西在综合工科学校的教学内容，集中体现在他写的《分析教程第一编•代数分析》(1821)、《微积分概要》(1823)、《微积分在几何学中的应用教程》(1826)和《微分学教程》(1829)中．这些论著首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础．1823年，他出任巴黎理学院力学副教授，代替S．D．泊松(Poisson)讲授力学；1824年底出任法兰西学院代理教授，代替J．B．比奥(Biot)讲授数学物理．这些教学工作都持续到1830年． 柯西同时积极参加科学活动，经常出席科学院每周一召开的公开会议，在纯粹与应用数学的各种委员会中起重要作用．他在波旁王朝复辟时期写了大约100篇论文或注记．1826年起，他独自编辑出版定期刊物《数学演习》(Exercices de mathmatiques)，专门发表自己的论著． 1830年7月革命再次推翻了波旁王朝，奥尔良公爵路易-菲力浦(Louis－Philippe)即位．一直激烈反对自由派的柯西，把此事看作国家的灾难．综合工科学校学生在起义中离开校园，率领民众战斗，对柯西刺激很大．内阁通过了公职人员必须宣誓效忠新国王的法令，而保王党人(柯西也在其中)认为宣誓就是背叛．起义中发生的一些暴烈行为，使柯西愤慨．所有这些因素，促使柯西下定决心离开法国． 柯西先去瑞士的弗里堡，试图筹建瑞士科学院，但未成功．1831年夏迁居都灵，10月在拉格朗日组建的都灵科学院露面．次年初撒丁国王特为柯西在都灵大学重设高级物理即相当于数学物理的教席．在都灵期间，柯西主要从事教学工作． 1833年7月，柯西前往布拉格，担任查理十世(路易十八之弟)之孙博尔多公爵(Le duc de Bordeaux)的宫廷教师，每天讲授数学、物理和化学．他尽心尽力，甚至重新编写了算术与几何教本．但王子对数学缺乏兴趣，与柯西关系不甚融洽．1838年10月，公爵年届18，教育告一段落，柯西在家人和朋友劝说下重返巴黎．查理十世授予他男爵封号，柯西对此十分看重． 宫廷教学使柯西研究进度放慢，他在布拉格以《数学新演习》(Nouveaux exercices de mathmatiques)为题继续出版他的《演习》，撰写了关于光和微分方程的一些论文，以石印形式在小范围内流传．回巴黎后，他首先去科学院，发表了关于光的研究成果． F．J．阿拉戈(Arago)于1836年创办了《巴黎科学院通报》，(Comptes rendu Acad． Sci．Paris)，使院士们能迅速发表成果．柯西充分利用这个有利条件，几乎每周在《通报》上发表一篇论文或注记。
不到20年，他在《通报》上发表了589篇文章．他的多产使科学院不得不限制其他人送交论文的篇幅不得超过4页．可是柯西还不满足，1839年9月起又以《分析与数学物理演习》(Exer－cices danalyse et de physique mathmatique)为题继续出版他的《演习》． 1839年7月，M．普鲁内(Prony)的去世使天文事务所(与法兰西研究院齐名，事实上的天文科学院)出现一个空缺．柯西于11月当选，但由于他拒绝向路易-菲力浦宣誓效忠而未获任命书． 回巴黎后，柯西同耶稣会士一起，参与创建天主教学院，热衷于宣传天主教．这使他与一些同事关系尴尬． 1843年5月，柯西竞选由于S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)逝世而空缺的法兰西学院数学教席，但得票极少，败于G．利布里(Libri)．年底在天文事务所新的几何学部委员选举中，他又败于他的对手普安索．这两次失利对他是沉重的打击．他开始离群索居，但仍勤奋工作． 1848年2月革命后，宣誓不再成为任命的障碍．1849年3月，柯西被委任为巴黎理学院数学天文学教授． 1850年6月，利布里被缺席判处10年徒刑，法兰西学院又出现空缺教席．柯西再次竞选，败于J．刘维尔(Liouville)． 1851年12月政变后，新政权要求公职人员宣誓效忠．柯西仍不妥协，致使他在理学院的教学工作停止一年多．1853年，拿破仑三世同意柯西可以例外，使他得以重登理学院讲坛，直至去世． 1848年后，他的发表节奏放慢，1853年停止出版《演习》；但继续审读论文，并从事宗教活动． 1857年5月12日，柯西患重感冒，21日病情突然恶化，次日与世长辞，享年68岁． 除巴黎科学院外，柯西还是18个科学院或著名学术团体的成员，其中有英国皇家学会、柏林科学院、彼得堡科学院、爱丁堡皇家学会、斯德哥尔摩科学院、哥本哈根皇家科学学会、格丁根皇家科学学会、波士顿科学院等． 数学分析严格化的开拓者 分析严格化的需要 18世纪的分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，分析中的一些基本概念，则缺乏恰当的统一的定义．由于没有公认的级数收敛概念，导致了许多所谓“悖论”，其实只是由于概念含混而出现的错误．数学家逐渐认识到，分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身．当时的法国——欧洲数学中心的数学家们集中在几个大学教书．教学和写作教材特别要求澄清基本概念，阐明基本原理． 已有一些数学家对当时分析的状况不满．C．F．高斯(Gauss)批评J．L．达朗贝尔(dAlembert)关于代数基本定理的证明不够严格，还说数学家们“未能正确处置无穷级数”．N．H．阿贝尔(Abel)说得更加明确：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处……．最糟糕的是它还没有得到严格处理．高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明．人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式．”(Oeuvres，2，pp．263—265．) 正是柯西，怀着严格化的明确目标，在前述4个教材中为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系．在《分析教程》前言中，他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理，这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符．”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致．” 极限与无穷小 柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限．”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量．这类变量以零为其极限，”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作-∞．”［2］从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进． 个数”开始，写出一系列不等式来最终完成证明．在讨论复杂表示式的极限时，他用了ε-δ论证法的雏型．由于有明确的把极限转述为不等式的想法，他就能从定义出发证明关于极限的一些较难命题． 其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态． 最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论． 函数及其连续性 柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数．” 他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性． 柯西给出了连续的严格定义：“函数f(x)是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f(x+a)-f(x)的数值随着a无限减小．换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量．” 在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到。