应用多元统计分析应用多元统计分析第三章习题解答第三章习题解答1 第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3-1 3-1 设设X～～Nn( (μ,σ2 2In), ), A为对称幂等为对称幂等阵阵, ,且且rk(rk(A)=)=r(r≤n), ,证明证明 证明证明 因因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非征值非0 0即即1,1,且只有且只有r个非个非0 0特征值，即存在正交特征值，即存在正交阵阵Γ(其列向量其列向量ri为相应特征向量为相应特征向量) )，使，使2 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3 其中非中心参数为其中非中心参数为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验4 3-2 3-2 设设X～～N Nn n( (μ,σ2In),), A，，B为为n阶对称阶对称阵阵. .若若AB ＝＝0 0 , ,证明证明X′AX与与X′BX相互独立相互独立. . 证明的思路：证明的思路：记记rk(rk(A)=)=r. . 因因A为为n阶对称阵阶对称阵, ,存在正交阵存在正交阵Γ,使得使得 Γ ′′AΓ= =diagdiag( (λ1,1,…, ,λr 0,..,0)0,..,0) 令令Y＝＝Γ′X，，则则Y～～Nn( (Γ′′μ,σ2In),), 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验且且5 又因为又因为 X′′BX= =Y′′Γ′′BΓ Y= = Y′′HY其中其中H=Γ′′BΓ 。
如果能够证明如果能够证明X′′BX可表示为可表示为Yr+1+1，，…,…,Yn的函数，即的函数，即H只是右只是右下子块为非下子块为非0的矩阵则则X′′AX 与与X′′BX相互独立相互独立第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验6 证明证明 记记rk(rk(A)=)=r. . 若若r=n, ,由由AB＝＝O, ,知知B＝＝ On×n, ,于是于是X′AX与与X′BX独立；独立； 若若r=0=0时时, ,则则A＝＝0,0,则两个二次型也是独则两个二次型也是独立的立的. . 以下设以下设0 0＜＜r＜＜n.因因A为为n阶对称阵阶对称阵, ,存在正存在正交阵交阵Γ,使得使得第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验7 其中其中λi≠0≠0为为A的特征值的特征值( (i=1,=1,…, ,r).).于是于是令令r第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 由由AB＝＝O可得可得DrH1111＝＝O ，， DrH1212＝＝O . .因因Dr为满秩阵为满秩阵, ,故有故有H1111＝＝Or×r，，H1212＝＝Or×(n-r) . . 由于由于H为对称阵，所以为对称阵，所以H2121＝＝O(n-r)×r . .于是于是8 由于由于Y1 1，，…,…,Yr , ,Yr+1 ,…,,…,Yn相互独立，故相互独立，故X′AX与与X′BX相互独立相互独立. .第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令Y＝＝Γ′′X，，则则Y～～ N Nn( (Γ′′μ,σ2In),), 且且9 设设X～～N Np( (μ,Σ),Σ＞＞0,0,A和和B为为p阶对称阵阶对称阵, ,试证明试证明 ( (X- -μ)′′A( (X- -μ)与与( (X- -μ)′′B(X-μ)相互相互独立独立 ΣAΣBΣ＝＝0 0p×p. .第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-310 由由““1.1.结论结论6”6”知知ξ与与η相互独立相互独立 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验11 性质性质4 4 分块分块Wishart矩阵的分布矩阵的分布:设设X(α) ～～ Np(0,Σ) (α＝＝1,…,n)相互独立，其中相互独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验试证明试证明Wishart分布的性质分布的性质(4)和和T2分布的性质分布的性质(5).3-412 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验证明证明: 设设记记, 则则即即13 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验当当Σ12 =O 时时,对对α＝＝1,2,…,n, 相互相互 独立独立.故有故有W11与与W22相互独立相互独立.由定义由定义3.1.4可知可知14 性质性质5 在非退化的线性变换下在非退化的线性变换下,T2统计量保持统计量保持不变不变. 证明证明:设设X(α) (α＝＝1,…,n) 是来自是来自p元总体元总体Np(μ,Σ)的随机样本的随机样本, X和和Ax分别表示正态总分别表示正态总体体X的样本均值向量和离差阵的样本均值向量和离差阵,则由性质则由性质1有有第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令其中其中C是是p p非退化常数矩阵，非退化常数矩阵，d是是p 1常向量。
常向量则则15 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以所以16 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-5 对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比统计量及分布. 解解:总体总体X～～N Np p(μ,Σ(μ,Σ0 0)(Σ)(Σ0 0＞＞0),0),设设X(α) )(α(α=1,…,=1,…,n) () (n＞＞p) )为来自为来自p维正态总体维正态总体X的样本的样本. .似然比统计量为似然比统计量为P66当当Σ=Σ0已知已知μ的检验的检验17 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验18 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验19 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验因因所以由所以由§3“一一﹑2.的结论的结论1”可知可知20 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-6 ( (均值向量各分量间结构关系的检验均值向量各分量间结构关系的检验) ) 设总体设总体X～～N Np p(μ,Σ)(Σ(μ,Σ)(Σ＞＞0),0),X(α) )(α(α＝＝1,…,1,…,n)()(n＞＞p) )为来自为来自p维正态总体维正态总体X X的样本，记的样本，记μμ＝＝(μ(μ1 1,…,μ,…,μp)′.)′.C为为k×p常常数数( (k< 0未未知知.检验检验H0似然比统计量为似然比统计量为记记其中其中30 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中其中 A=A1+A2称为组内离差阵称为组内离差阵.B称为组间离差阵称为组间离差阵. 31 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验因为因为似然比统计量似然比统计量32 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以所以33 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验由定义由定义3.1.5可知可知由由或或由于由于34 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验可取检验统计量为可取检验统计量为检验假设检验假设H0的否定域为的否定域为35 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-11 表表3.5给出给出15名名2周岁婴儿的身高周岁婴儿的身高(X1)，胸围，胸围(X2)和上半臂围和上半臂围(X3)的测量数据的测量数据.假设男婴的测量数据假设男婴的测量数据X(α)(α＝＝1,…,6)为来自总体为来自总体N3(μ (1)，，Σ)的随机样本的随机样本.女婴女婴的测量数据的测量数据Y(α) (α＝＝1,…,9)为来自总体为来自总体N3 (μ(2)，，Σ)的随机样本的随机样本.试利用表试利用表3.5中的数据检验中的数据检验H0:μ(1) =μ(2) (α=0.05). 解解:这是两总体均值向量的检验问题这是两总体均值向量的检验问题. 检验统检验统计量取为计量取为(p=3,n=6,m=9):36 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中其中故检验统计量为故检验统计量为用观测数据代入计算可得用观测数据代入计算可得:故故H0相容相容.显著性概率值显著性概率值37 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-12 3-12 在地质勘探中，在在地质勘探中，在A A、、B B、、C C三个地区采集了一些岩石，三个地区采集了一些岩石，测其部分化学成分见表测其部分化学成分见表3.6.3.6.假定这三个地区岩石的成分遵从假定这三个地区岩石的成分遵从N N3 3( (μμ( (i i) )，，ΣΣi i)()(i＝＝1 1，，2 2，，3)(α=0.05).3)(α=0.05). (1) (1) 检验检验H0H0：：ΣΣ1 1＝＝ΣΣ2 2＝＝ΣΣ3 3；；H1H1：：ΣΣ1 1,Σ,Σ2 2,Σ,Σ3 3不全等不全等; ; (2) (2) 检验检验H0H0：：μμ(1)(1)＝＝μμ(2)(2),H1,H1：：μμ(1)(1)≠μ≠μ(2)(2); ; (3) (3) 检验检验H0:μH0:μ(1) (1) ＝＝μμ(2)(2)＝＝μμ(3)(3),H1:,H1:存在存在i≠ji≠j, ,使使μμ(i)(i)≠μ≠μ(j(j) ); ; (4) (4) 检验三种化学成分相互独立检验三种化学成分相互独立. . 解解:(4)设来自三个总体的样本为设来自三个总体的样本为(p=3,k=3)检验检验H0的似然比统计量为的似然比统计量为38 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分子为似然比统计量的分子为39 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验称为合并组内离差阵称为合并组内离差阵.40 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验41 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分母为似然比统计量的分母为42 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验检验H0的似然比统计量可化为的似然比统计量可化为:43 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 Box证明了，在证明了，在H0成立下当成立下当n→∞时，时， ξ=-blnV~χ2(f)，，其中其中 V=0.7253, ξ=-blnV=3.2650,因因 p=0.3525>0.05.故故H0相容，即随机向量的三个分量相容，即随机向量的三个分量(三种三种化学成分化学成分)相互独立相互独立.44 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 或者利用定理或者利用定理3.2.1,当当n充分大时，充分大时， ξ=-2lnλ~χ2(f)，，其中其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3, V=0.7253, λ =0.1240 , ξ=-2lnλ =-n×lnV=4.1750,因因 p=0.2432>0.05.故故H0相容，即随机向量的三个分量相容，即随机向量的三个分量(三种三种化学成分化学成分)相互独立相互独立.45 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-13 对表对表3.3给出的三组观测数据分别检验是给出的三组观测数据分别检验是否来自否来自4维正态分布维正态分布. (1) 对每个分量检验是否一维正态对每个分量检验是否一维正态? (2) 利用利用χ2图检验法对三组观测数据分别检验图检验法对三组观测数据分别检验是否来自是否来自4维正态分布维正态分布.46 。