第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章第一章 1 注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即即: 设设则则使使值和最小值值和最小值. .或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略证明略)点点 , 第一章第一节第一章第一节 2 例如例如,无无最大值和最小值最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 第一章第一节第一章第一节 3 推论推论. 由由定理定理 1 可知有可知有证证: 设设上上有界有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 )至少有一点至少有一点且且使使( 证明略证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第一章第一节第一章第一节 4 定理定理3. ( 介值定理介值定理 )设设 且且则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点证证: 作辅助函数作辅助函数则则且且故由故由零点定理知零点定理知, 至少有一点至少有一点使使即即推论推论:使使至少有至少有在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值 . 第一章第一节第一章第一节 5 例例1. 证明方程证明方程一个根一个根 .证证: 显然显然又又故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即说明说明:内必有方程的根内必有方程的根 ;取取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根 ;可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法在区间在区间内至少有内至少有则则则则6 上连续上连续 , 且恒为正且恒为正 ,例例2. 设设在在对任意的对任意的必必存在一点存在一点证证:使使令令, 则则使使故由故由零点定理知零点定理知 , 存在存在即即当当时时, 取取或或, 则有则有证明证明:7 *三三. 一致连续性一致连续性已知函数已知函数在在区间区间 I 上连续上连续, 即即:一般情形一般情形,就就引出引出了一致连续的概念了一致连续的概念 .定义定义:对对任意任意的的都有都有在在 I 上一致连续上一致连续 .显然显然: 第一章第一节第一章第一节 8 例如例如,但不但不一致连续一致连续 .因为因为取点取点则则 可以任意小可以任意小但但这这说明说明在在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续上不一致连续 .定理定理.上上一致连续一致连续.(证明略证明略)思考思考: P73 题题 6提示提示:设设存在存在, 作作辅助函数辅助函数显然显然 第一章第一节第一章第一节 9 内容小结内容小结在在上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值; ;4. 当当时时,使使必存在必存在上有界上有界;在在在在 第一章第一节第一章第一节 10 1. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图), 证明必可将它证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为一刀剪为面积相等的两片面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.则则面积函数面积函数因因故由故由介值定理可知介值定理可知: 第一章第一节第一章第一节 11 则则证明至少存在证明至少存在使使提示提示: 令令则则易证易证2. 设设作业作业P73 题题 2 ; 3; 4一点一点 第一章第一节第一章第一节 12 备用题备用题 至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证：证：证明证明令令且且根据零点定理根据零点定理 ,原命题得证原命题得证 .内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然正根正根 . 第一章第一节第一章第一节 13 。