相 似 三 角 形 的 判 定一、 知识点：了解两个三角形相似的概念，掌握判定两个三角形相似的方法： ⑴两角对应相等，两三角形相似； ⑵三边对应成比例，两三角形相似（类似于“ＳＳＳ”）； ⑶两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似（类似于“ＳＡＳ”）； ⑷如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似（类似于“ＨＬ”）；二、 方法指导：判定两个三角形相似基本思路有： ⑴若条件中有平行线，可用平行线的性质，找出相等的角，从而判定两个三角形相似（如基本图①）； ⑵若条件中有圆，可用圆中圆周角、圆心角、弦、弧等的相关性质，找出相等的角，从而判定两个三角形相似（如基本图②）； ⑶若条件中有一对相等的角，可再找一对相等的角或再找夹边对应成比例； ⑷若条件中有边对应成比例，可再找夹角相等或再找第三边对应成比例； ⑸若是两个直角三角形，可考虑再找一对锐角相等或再找两边对应成比例； ⑹若是两个等腰三角形，可考虑再找顶角相等或再找一对底角相等或再找两边对应成比例；（基本图④）∠1=∠B：△ABC ∽△ACD1DCBA（基本图③）△ABC∽△DAC ∽△DBADBABC∥DE：△ABC∽△ADE△ABC∽△ADECEDBACBA三、常见相似基本图形：要善于从复杂的图形中抽象出基本图E´D´CED（基本图②）（基本图①）AED四、 训练题：1、 如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，EC=5，且DE∥BC，则DE等于（ ）（第1题图）CB A、 B、 C、 D、2、 在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一棵大树的影A长为4.8m，则树的高度是（ ）D A、4.8m B、6.4m C、9.6m D、10m FB3、 如图，平行四边形ABCD中，E为BC上一点，AE交BD于F，如果=（第3题图）EC，那么的值为（ ） A、 B、 C、 D、PM4、 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中，由点M、N、P所组成的三角形，与左图中的△ABC相似的是（ ）BCNPPMANMMPNNADCBPA5、 如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC=APAB；④ABCP=APCB，其中能使得△APC∽△ACB的有（ ）CB A、①②④ B、②③④ C、①②③ D、①③④（第5题图）6、如图，将边长分别为2、3、5的三个正方形，按如图的方式排列，则图中阴影部分的面积是（ ）☉OO A、 B、3 C、 D、4（第6题图）7、如图， O经过△ABC的顶点B、C，分别与AB、AC交于点D、E，连接CDE，且CD、BE，交于点F，那么图中相似的三角形的对数有（ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对O···8、如图，一张等腰三角形纸片，底边长21cm，底边上的高长为24.5cm，•FE现沿着底边依次从下往上剪下宽度为3cm的矩形纸条。
已知剪得的纸条DBA中，有一张是正方形，那么这张正方形纸条是（ ） （第8题图）（第7题图） A、第5次所剪 B、第6次所剪 C、第7次所剪 D、第8次所剪A9、 点P是Rt△ABC斜边上、异于B、C的一点，过P作直线截三角形，使所截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ） A、4条 B、3条 C、2条 D、1条CEDB10、 如图，在Rt△ABC中，AC⊥BA,D是斜边BC的中点，连接AD，过A作（第10题图）EA⊥AD，交CB的延长线于E，则下列判断正确的是（ ）A A、△AED∽△ACB B、△AEB∽△ACD C、△AEC∽△DAC D、△ACE∽△BAE11、 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②（第11题图）BCD∠B=∠DAC；③CD·AB=AD·AC；④AB=BD·BC；其中一定能判定△ABC是A直角三角形的有（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个FD12、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8,将△ABC沿着DE折叠，使点C落在AB边上的F处，恰好此时DF∥BC，那么CD之长为（ ）（第12题图）ECB A、 B、 C、 D、A五、填空：13、如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相D 似，应添加的条件是 。
CB14、一个铝质三角形框架的三边分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它（第13题图） 相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中一 根为一边，从另外一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，那么余料 的长度为 cm.15、如图，梯形ABCD的对角线AC、BD交于点O，G是BD的中点若AD=3，BC=9，则GO:BG的值为 16、如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，且OC=OD）量零件的内孔直径AB若OC:OA=3:7，量得CD=9mm，则零件的厚度x= mm17、如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于D，则下列结论：①BC=BD=AD；AAxDCDA②=；③BC=CDAC；④若AB=2，则BC=-1.其中正确结论的序号为 AOOAADBAG•CBBBCBB25CB（第17题图）（第18题图）（第16题图）（第15题图）18、我们知道：相似三角形的面积之比等于相似比的平方请利用这一知识解决问题：如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC的中点A、B，则四边形AABB的面积为，再分别取AC、BC的中点A、B，取AC、BC的中点A、B，依次取下去···，利用这一图形，能只管地计算出＋＋＋···＋= 。
六、解答题：C19、如图,D、E分别是正△ABC的边BC、AC上的点，且BD=CE，AD与BE交于点F ①求证：△ABD≌△BCE；D ②等式“BD=ADDF”成立吗？试说明理由EFBA（第19题图）20、如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点QCDP ①若=，求的值；（第20题图）BAQ ②若P为BC上任意一点，求证：☉OO21、如图， O是以△ABC的边BC为直径的圆，分别交AB、AC与D、E两点A ①求证：△AED∽ABC；ED ②若DE=BC，求∠A的度数CB（第21题图）DC22、如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于F ①求证：△ADE∽△BEF； ②设正方形的边长为4，AE=x，BF=y当x取什么值时，y有最大 值？并求出这个最大值FEBA（第22题图）A23、如图，△ABC为等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，交CE于E①求证：△ABD∽△CED；ED②若AB=6，AD=2CD，求BE之长FCB（第23题图）【参考答案：训练题：1、A； 2、C； 3、B； 4、B； 5、D； 6、A； 7、D； 8、C； 9、B； 10、D； 11、D； 12、A；填空：13、∠ACD=∠B或∠ADC=∠ABC或AD:AC=AC:AB； 14、4.5（提示：27与36是对应边。
相似比为，则所需铝材=（24+30+36）=67.5cm） 15、； 16、2mm； 17、①②③④； 18、1-；解答题：19、①（略）；②成立提示：证明△DBF∽△DAB）20、①；②（提示：要证，即证=+1==， 即 =，也就可以证明△ADQ∽△BPQ得到21、①（提示：利用“圆内接四边形的外角等于它的内对角”可得：∠ADE=∠ACB，∠AED ∠ABC）； ②连接CD（或BE），则CD⊥AB，由①知：==，所以在Rt△ADC中可得： ∠A=60°） 22、①（略）； ②（提示：由①得：，则，即y=-（x-2）+1， 其中0