HOHAI UNIVERSITYCh9 Ch9 弯曲内力弯曲内力§9-1 概 述外力特点：垂直于杆轴线外力，或作用在包含轴线平面内的外力偶变形特点：杆的轴线弯成曲线，且杆的横截面相对转动一角度Fq(x)Me纵向对称面1HOHAI UNIVERSITY以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内 ，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生平面 弯曲平面弯曲是杆件的一种基本变形Fq(x)Me2HOHAI UNIVERSITY按梁的支承情况，梁有三种基本形式梁的分类：1.简支梁：一端为固定铰支座，另一端为 可动铰支座的梁2.外伸梁：简支但一端或两端具有外伸部 分的梁3.悬臂梁：一端固定，另一端为自由的梁静定梁： 可由静力 平衡方程 求出所有 支座反力 的梁超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁梁两支座间的距离称为跨度，其长度称为跨长3HOHAI UNIVERSITYABqF1F2F1F2ABABq(x)ABqCF16.54HOHAI UNIVERSITY§9-2 弯曲内力1.剪力用FQ表示,单位N, kN。
弯矩用M表示,单位N·m, kN·m2.符号规定:剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转 动趋势的为正,反之为负FQFQFQFQ+ +- -——剪力和弯矩5HOHAI UNIVERSITY弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸 趋势的为正,反之为负MMMM+ +- -6HOHAI UNIVERSITYAF1FRAa mmxx MFQycABF1F2 ammx1). 梁上任一横截面 上的剪力，在数值上 等于该截面一侧所有 外力沿横截面方向投 影的代数和2). 梁上任一横截面 上的弯矩，在数值 上等于该截面一侧 所有外力对该截面 形心力矩的代数和 截面法7HOHAI UNIVERSITY剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为 正,反之为负FQFQFQFQ+ +- -弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为 正,反之为负MMMM+ +- -8HOHAI UNIVERSITY例1 求解图示梁指定截面的内力2mA Bq = 2kN/m1m1m11223 3xy解：1.求支座反力MAFAy2.求截面内力9HOHAI UNIVERSITYA11xMAFAy A11xMAFAy22解： 1.求支座反力2.求截面内力1-1截面2-2截面3-3截面M1FQ1M2FQ2M3FQ3 A11xMAFAy2233q = 2kN/m此题可否不求解约束力?10HOHAI UNIVERSITY例2 求解图示梁指定截面的内力。
ABF3 31 12 25 54 4M = 4Faaaa解：1.求支座反力2.求截面内力11HOHAI UNIVERSITYABlFabCq作业题：求A截面右侧、C截面左侧和右侧的内力第十七次课结束处12HOHAI UNIVERSITY§5-3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图FQ=FQ(x) 剪力方程以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以 垂直于梁轴线的坐标轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为正，M以向 下为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图M=M(x) 弯矩方程将各截面的剪力和弯矩表示为截面位置的函数二、剪力图和弯矩图：一、剪力方程和弯矩方程13HOHAI UNIVERSITY例3简支梁受均布荷载作用，如图所示试列出剪力方程 和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图ABqlx解：1.求支座反力2.列剪力方程、弯矩方程FAyFRBx截面14HOHAI UNIVERSITY3.画剪力图、弯矩图ABqlxFQ+—xM+15HOHAI UNIVERSITY例4 一简支梁受集中荷载作用，如图所示试列出剪力方 程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图ABlxFabC解：1.求支座反力2.列剪力方程、弯矩方程FAyFRB3.画剪力图、弯矩图16HOHAI UNIVERSITYxFQxMABlFabC+—+17HOHAI UNIVERSITY例5 一简支梁受均布荷载及集中荷载作用，如图所示。
试 列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图ABlxFabCq18HOHAI UNIVERSITY例6 一简支梁受集中力偶作用，如图所示试列出剪力方 程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图ABMablxC分段点：集中力、集中力偶、分布荷载起止，剪力方程、弯 矩方程要分段；剪力图、弯矩图有突变，为控制截面处由 此可见剪力图、弯矩图与荷载图之间存在一定的关系17.519HOHAI UNIVERSITYABq(x)Fx§9-4 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系设一段梁受力如图x处取微段dx，微段受力如图由该微段的平衡方程∑Fiy=0 即FQ(x)-[FQ(x)+dFQ(x)]+q(x)dx=0dxxq(x)dxM(x)FQ(x)M (x) +dM (x)FQ (x) +dFQ (x)C20HOHAI UNIVERSITYdFQ(x)dx=q(x)得dFQ(x)=q(x)dxM(x)FQ(x)M (x) +dM (x)FQ (x) +dFQ (x)q(x)dxC∑MC=0M(x)+FQ(x)dx-[M(x)+dM(x)]+q(x)dx =0dx2 2dM(x) dx=FQ(x)得dM(x)=FQ(x)dx d2M(x) dx2=q(x)从而21HOHAI UNIVERSITY1. q(x)=0讨论：该梁段内FQ(x)=常数。
故剪力图是平行于x轴的直线；弯矩是x的一次函数，弯矩图是斜直线2. q(x)=常数该梁段内FQ(x)为线性函数故剪力图是斜直线；弯矩是x的二次函数，弯矩图是二次抛物线剪力为正，弯矩图向下倾斜；剪力为负，弯矩图向上倾斜q(x)为正，剪力图向上倾斜，弯矩图为上凸曲线；q(x)为负，剪力图 向下倾斜，弯矩图为下凸曲线22HOHAI UNIVERSITY例7 作如图所示外伸梁的剪力图和弯矩图解：1.求支座反力2. 画剪力图、弯矩图FAyFRB找控制截面， 计算控制截面 上剪力、弯矩1 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 623HOHAI UNIVERSITYFAyFRB1 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 6FQ727288886060 2020(kN)M (kN·m)8080113.6113.63.6m++—+—+144144161624HOHAI UNIVERSITYFAyFRB1 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 6FQ727288886060 2020(kN)M (kN·m)8080113.6113.63.6m++—+—+1441441616q(x)=0剪力图是平行于x轴的直线；弯矩图是斜直线。
q(x)=常数剪力图是斜直线；弯矩图是二次抛物线第十八次课结束处25HOHAI UNIVERSITY例8 作如图所示联合梁的剪力图和弯矩图解：1.求支座反力2. 画剪力图、弯矩图找控制截面， 计算控制截面 上剪力、弯矩MCFRAFCy1 11 12 22 23 33 34 44 426HOHAI UNIVERSITYFQ (kN)404080801010240240M (kN·m)10107575+—+—27HOHAI UNIVERSITY§9-5 按叠加原理作弯矩图故可先分别画出各个荷载单独作用的弯矩图，然后将各图对应 处的纵坐标叠加，得所有荷载共同作用的弯矩图 这是一个普遍性的原理，即叠加原理；凡是作用因素（如荷 载，温度等）和所引起的结果（支座反力、内力、应力、变 形等）之间成线性关系，叠加原理都适用当梁在荷载作用下为微小变形时，梁的支座反力、剪力和弯 矩与梁上荷载成线性关系这时，在多个荷载作用下，梁的 弯矩为各个荷载单独作用时的弯矩的代数和28HOHAI UNIVERSITYABqlMe=1/8ql 2ABqlABlMe=1/8ql 2+ql 2/8M—ql 2/8M如图如图按叠加原理作其弯矩图29HOHAI UNIVERSITYABqlMe=1/8ql 2+ql 2/8MMe单独作用下弯矩图q单独作用下弯矩图ql 2/8M-Mql 2/8 共同作用下弯矩图- + ql 2/1630。