第三课时第三课时 教学目标 知识与技能 利用捆绑法、插空法解决排列问题． 过程与方法 经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想． 情感、态度与价值观 能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力． 重点难点 教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题． 教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教教学学过过程程Error!提出问题：7 位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题． (1)7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ (2)7 位同学站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？ (3)7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (4)7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (5)7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演． 活动成果： 解：(1)问题可以看作：7 个元素的全排列 A ＝5 040.7 7(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040. (3)问题可以看作：余下的 6 个元素的全排列 A ＝720.6 6(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有 A 种；第二步余下的 5 名同学2 2进行全排列有 A 种，所以，共有 A ·A ＝240 种排列方法．5 52 25 5(5)第一步从(除去甲、乙)其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有 A 种方法；2 5第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列(全排列)有 A 种方法，所以一共有 A A ＝2 5 52 5 5 5400 种排列方法．Error!类型一：捆绑法 例例 1 1 7 位同学站成一排， (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？ 解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素，与其余的 5 个元素(同学)一 起进行全排列有 A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A 种方法．所以这样6 62 2的排法一共有 A A ＝1 440 种．6 6 2 2(2)方法同上，一共有 A A ＝720 种．5 5 3 3(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为 丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有A 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进2 54 4行排列有 A 种方法．所以这样的排法一共有 A A A ＝960 种．2 22 5 4 4 2 2解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，若丙站 在排头或排尾有 2A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A －2A )·A ＝9605 56 65 52 2种． 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙 不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有 A 种方法，再将其余的 5 个1 4元素进行全排列共有 A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有5 5A A A ＝960 种．1 4 5 5 2 2(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成 一个元素，此时一共有 2 个元素，∴一共有排法种数：A A A ＝288 种．3 3 4 4 2 2点评：对于相邻问题，常用“捆绑法”(先捆后松)． 【巩固练习】 某商场中有 10 个展架排成一排，展示 10 台不同的电视机，其中甲厂 5 台，乙厂 3 台， 丙厂 2 台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少 种？ 解：将甲厂 5 台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，乙厂 3 台不同的电视机“捆 绑”在一起看成一个元素，丙厂 2 台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 3 个元素，甲不放两端，甲有 1 种排法，乙、丙排在两端有 A 种排法，共有2 2A A A A ＝2 880 种不同的排法．5 5 3 3 2 2 2 2【变练演编】 7 位同学站成一排， (1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？ (2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？ 解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有 A 种不同的排法，把甲、乙和中间的一1 5人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 5 个元素，共有 A A A ＝1 200 种不同的排1 5 5 5 2 2法． (2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有 A 种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆2 5绑”在一起看成一个元素，此时一共有 4 个元素，共有 A A A ＝960 种不同的排法．2 5 4 4 2 2类型二：插空法 例例 2 7 位同学站成一排， (1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：(1)方法一：(排除法)A －A ·A ＝3 600；7 76 62 2方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A 种方法，此时他们留下六个位置(称为5 5“空”)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A 种方法，所以一共有 A A ＝3 6002 65 5 2 6种方法． (2)先将其余四个同学排好有 A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三4 4个同学分别插入这五个“空”有 A 种方法，所以一共有 A A ＝1 440 种方法．3 54 4 3 5点评：对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)． 【巩固练习】 5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排 列． 解：(1)先将男生排好，有 A 种排法；再将 5 名女生插在男生之间的 6 个“空”(包括两5 5端，但不能同时排在两端)中，有 2A 种排法，5 5故本题的排法有 N＝2A ·A ＝28 800 种．5 55 5(2)方法 1：N＝＝A＝30 240；A1010A5 55 10方法 2：设想有 10 个位置，先将男生排在其中的任意 5 个位置上，有 A种排法；余5 10下的 5 个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法． 故本题的排法为 N＝A×1＝30 240 种．5 10【变练演编】 5 男 6 女排成一列，问 (1)5 男排在一起有多少种不同排法？ (2)5 男不都排在一起有多少种排法？ (3)5 男每两个不排在一起有多少种排法？ (4)男女相互间隔有多少种不同的排法？ 解：(1)先把 5 男看成一个整体，得 A ，5 男之间排列有顺序问题，得 A ，共 A A7 75 57 7种．5 5(2)全排列除去 5 男排在一起即为所求，得 A－A A .11117 7 5 5(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得 A A .6 6 5 7(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得 A A .6 6 5 5【达标检测】 1．记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但 不排在两端，不同的排法共有( ) A．1 440 种 B．960 种 C．720 种 D．480 种 2．把 4 个不同的黑球，4 个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同 的排法种数是( ) A．A B．A A8 84 4 4 4C．A A A D．以上都不对4 4 4 4 2 23．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果 将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A．42 B．96 C．48 D．124 答案：答案：1.B 2.C 3.AError!1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式． 2．方法收获：捆绑法、插空法． 3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．Error!【基础练习】 1．6 人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的 两边，则不同的排法种数为( ) A．12 B．24 C．48 D．144 2．由数字 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数，其中是 25 的倍数的数共有______个 ( )A．9 B．12 C．24 D．21 3．用数字 0,1,2,3,4 能组成没有重复数字的且比 20 000 大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30 C．72 D．18 4．将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志 愿者的方案种数为( ) A．540 B．300 C．180 D．150 答案：答案：1.C 2.D 3.B 4.D 【拓展练习】 5．有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定． 答案：答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设设计计说说明明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空 法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习 巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备备课课资资料料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参 与排列． 例例 A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 A，B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么 不同的排法种数有________． 解析：解析：把 A，B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，有 A ＝24 种排法．4 4二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排 列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端． 例例 1 1 书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有______种 不同的插法(具体数字作答)． 解析：解析：A A ＋A A ＋A ＝504 种．1 7 3 32 7 2 33 7例例 2 高三(1)班学生要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的 演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是________． 解析：解析：不同排法的种数为 A A ＝3 600.5 5 2 6例例 3 某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行， 工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这 6 项工程的不同排法种数是______。