引言随着当今时代的进步与发展，数学也在跟随着时代的步伐向前迈进.四元数 矩阵在数学及其它学科领域的理论研究中冇着广泛的应用，是四元数体上重要定 理，它在矩阵的学习过程中占有很重要的地位.四元数矩阵的理论对于进一步的 研究数学，对于对后续课程的学习起着举足轻重的作用.四元数矩阵的相关理论 比较繁杂，又分生出各种层次的概念，对于本文的主要研究问题丼不局限于四数 元矩阵的表面，而是把这一部分进行深入的推广.四元数的背景与定义是最基本 的讨论，要想真正理解四元数就要从它的产生和发展入手，四元数体就是发展中 产生的外延，并且发展成主要的内容，所以对它的定义有必要深入介绍， 四元数矩阵是发展到现在重要的理论基础，所以着重进行描述.四元数矩阵的理论在各个方面的应用都比较广泛，特别是在物理学和数学上联系密切.我们通 过运用四元数矩阵的各理论研究可以把矩阵中的基础性的内容转化为更为代数 的解决方式，比如四元数矩阵的特征值、Jordan标准形、奇异值分解以及四元数 矩阵的正定性四元数矩阵方程.本课题的研究目的：经过对四元数矩阵的多角度、全面性、多M次的认识, 使我们对四元数矩阵更加了解，了解它的定义及背景以及定理证明，在实践中更 加熟练的使用它，这也让我们明白它所具有独特性和重要性，在我们数学学科 中的非同一般的位置.能够运用四元数矩阵的理论解决数学学习中遇到的有关 于矩阵的一些基本问题.木课题的研究过程：研究四元数的背景、意义及定义，接着讨论四元数体上 的定义以及定理，最后对四元数矩阵理论进行推广.1. 四元数的发展1.1背景四元数的发现离不开爱尔兰数学家哈密尔顿，是他对四元数进行了开创性的 数学定义.四元数宥它木身的独特性，也就是最宥意思的一面，在数学学科中乘 法交换律是公认的基础原则，但对四元数却是无约束的存在，所以四元数冇它的 独特魅力.也就是说，四元数是复数的不能交换延伸.假如把四元数的集合研究 成多维实数空间的话，四元数就表示为一个四维空间，相当于复数为二维空间. 四元数是除环（除法环）的一个事例，除了不包含乘法的交换律以外，除法环与域 是类似的.尤其是，乘法的结合律一直存在、非零元素一直是唯一的逆元素.四 元数表示成一个在实数上的四维结合代数（实际上是除法代数），并且包括复数, 但是不和复数形成结合代数.四元数（及其实数和复数）仅仅是有限维的实数结 合除法代数.四元数的不可交换性通常致使一系列使人意外的结论，比如四元数 的n阶多项式吋以有大于/r个不同的根.四元数是由哈密尔顿在1843年爱尔兰展现的.那是他正探究扩展复数到更 高的维次（复数可看成平而上的点），他无法做到三维空间的事例，但是四维就 产生四元数.依据哈密顿记述，他在10月16日和他的妻子在都柏林的皇家运河 （Royal Canal）上散步时一下子想到Z2 = j2=k2=-l.随后哈密顿马上把这个方程刻在附近介鲁穆桥（Brougham Bridge,现在称力金雀花桥Broom Bridge）. 这个方程舍弃了交换律，是那是一个极端的想法（当时还没冇发现向量和矩阵）. 不仅如此，哈密顿还发现了向量的内外积.于是，他把四元数打造成一个有序的 四重实数：一个纯量（tz）和向量（bi + cj + dk）的结合.假如两个纯量部为零的四元数相乘，得到的纯量部就是一开始的两个向量部的纯量积的负值，然而向 量部就是向量积的值，但是它们的重耍性一直有待挖掘.对于四元数的研究，由于它的广泛性，所以存在大量的实例对它的推广，但 总体概括来说有W部分的内容：一方面它是复矩阵代数的扩大，就如实剖析发展 到复分析那样充满活力和朝气：另一方面它來自许多其他学科工程的应用背景. 从1843年英詞数学家Hamilton建立四元数理论入手，其最开始的目标是为考虑 空间矢量找到近似办理平而题目中使用的复数方式.但因为那是数学器材的局 限，四元数最开始只是在刚体定位问题中得到一些和对比较简单的应用，未能解 决工程技术中的实际问题，所以，它的优越性那吋还未能够表现出来，在一个世 纪中并未得到什么发展，更不用说在实际工程中的应用.从20世纪中期以来， 人们把复平面推行到四维空间盾，察觉使用四元数和四元数矩阵能够解决实际中 的许多问题.于是关于四元数和四元数矩阵的研究又被无数学者推到高潮，成为 大家不断进行信息发掘的热点问题.1.2含义对于四元数的辩论很对人对哈密顿都是嗤之以鼻，四元数在开始的地位低入 谷底，以为它经不过时间的推敲.但是在20世纪40年代以后，很多科学家从迷 雾中走岀来，不在把它单纯的局限于物理学方面，大家对哈密顿发现的四元数有 了全新的认识，就是在代数方面的影响.这样的事情也发生在几何学中，在非欧 几何还没发现前，几何学也是陷入了泥潭中，是非欧几何让它重新焕发了光彩. 四元数的独特之处就是任性的不满足于乘法交换律，也是首个被发现的这样的数 学目标.于是代数系统就发生了日新刀异的变化，实数和复数不在孤单，而是形 成了框架和组合.任何事情都不是简单得来的，是经过大量的探究得来的，约两 百多种的代数学是F1思夜想的心血.四元数经过低估，经过实践的洗礼又上升到 高峰，已经在数学和物理方面得到普遍的认可，而且成为向量代数、向量分析和 线性结合代数理论的幵始.与其说四元数是数学中的概念，倒不如说它是物理学中的光辉，当刚体力学 不断完善和发展，刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题与四元数坫然 完美契合，并且与旋转矩阵的运算与单位四元数的运算也是大同小异，所以物理 学中很多极用都使用了四元数的概念和推广，四元数不再是空洞的理论，变成了 有血有肉的丰富理论和实践体系.1970年以后，世界慢慢步入计算机时代，学 科问就不断进行了整合，由于计算机的丰富性，所以很多以前不被理解和重视的 理论又迎来Y它们的春天，但是四元数也有它自身的局限性，四元数矩阵右特征 值存在无限性，然而左特征值又存在不确定性，这些都阻碍了四元数的发展，并 且在计算方面四元数矩阵也是繁琐的，所以四元数的研究的也是充满了困难.2. 四元数的定义与定理2.1四元数定义2. 1. 1[1]:四元数是简申的超复数.复数是由实数加上虚数争位z*组成，类似的，四元数都是由实数加之三个虚数单位^，々构成，并且它们冇下面的联系：z0 = 70=)t0=l,每一个四元数都是1,以和的线性组合， 即是四元数一般可表示为6Z +从+ 0 +冰，其中/是实数.关于i，j，k Cl身的几何含义可以理解为一种旋转，此中/旋转表示X轴与r轴和交平面中％轴正向向y轴正向的旋转，./旋转表示z轴与x轴相交平面中z轴 正向向x轴正向的旋转，(旋转代表y轴与z轴相交平面中y轴正向向z轴正向 的旋骑，-i，-j，-k逐一表示/，7,旋转的反向旋转.2. 2四元数体第~个非交换的体是W.R.Hamilton在1843年给出的，叫做实四元数体，在 同构意义下其矩阵形式可表述为这里C是复数域，6Z是6T的共轭复数.因此，实四元数体H是C上的二阶全矩阵 环的子体.当然，这里需耍验证集合H关于矩阵加、乘运算是一个体.例如，若 A = f a—引其0,即|汉| + |/?卜0,则容易证明?1非奇异，且，丨+|2省广eH.设K是实数域，记，J0 1 v-1这里/是虚数单位，则H = \ci + bi + cj + dk\a,b,c,d e /?}.定义2.2. 1[1]设厂是一个体，命Z⑷+G K\ax = xa,\/xE Aj,叫做体K的中心.命题2.2. 1[1]体的中心是它的一个子域；特别地，Z(H) = R.定义2.2.2[1]—个域F叫做形式实域，如果在F中关系式仅当• Iat = 0(r = 1，2,3,.../?)时成立.命题2.2.2[1]设F是一个形式数域，则QF={a + bi-}-cj^dk\a,b,c,dE F}所示的关于加、乘运算是一个非交换体.定理 2. 2. 1⑴设 F 是一个域，则 ={tz + /?/ + cJ + 6W:|6Z,/7，c,6/e 所示的込关于和应的加、乘运算是F上的一个四元数体的充分且必要条件是F是一个形 式数域.命题2.2.3[1]设F是一个形式实域，则Z(込)=厂.定理2. 2. 2[1:设f，厂2都是形式实域，则%的充分且必要条件是F,=F2.定义2. 2. 3[1]由有理数域所嵌入的四元数体叫做有理四元数体.定理2. 2. 3[1]冇理四元数体是最小的四元数体.证：设是任意的一个四元数体，因c/2(2f=O,则包含一个与冇理数域同构的子域巧,显然0,...但是有理叫元数体与同构，因而存在有理叫元数体到2。
的单射，故知它是最小的四元数体.3. 四元数矩阵的一系列理论研究 3.1四元数矩阵的特征值定义3.1.1[31设/1可中心化，则4的弱特征多项式在复数域C (其它代数闭域上也一样)上的个根称为A的特征根.设AeH若存在非零向量X使得= 则称汍为A的左(右)特征值，若人既为A的左特征值又为A的右特征值，则称人为A的特征值.定理3. 1. 1[3]设A可中心化，汍eC,则下列等价：⑴4为A的特征根；(II)々为4•的特征根；(ih)4为a的右特征值；(IV)汍为A的重特征多项式的根.推理1[3]设“//:，人eC,则卜•列等价：⑴4为A的特征根；(II) 人为A的右特征值；(III) 汍为A的重特征多项式的根.推论2[3]设焱可中心化,则下列等价：⑴汍为A的特征根；(II) A为4的右特征值；(III汍为A的左特征值；(IV) 汍为A的特征值.注1易知矩阵的右特征值不一定为左特征值，反之，左特征值也不一定为右特 征值.注2任意四元数矩阵一定存在复右特征值，但不一定存在复左特扯值，因此左 特征值不是相似不变量.例如取A = (Z + ./)，一介矩阵，则A只有一个左特征值Z+./.最小多项式与弱特征多项式的根之间的联系定理3. 1.2[7]设4可中心化々(A)为A的最小多项式，/(A)为A的弱特征多项式，则(I)当仏不是的极大+域时，则#A), /(2)在C上的根一•致，即 #2)含有A的所有特征根.(II)当/?4是/^的极大子域时，则存在一个代数闭域C3,使得在C3中 的根与/(A)在C3中的根一致，即A在C3上的特扯根汍或者为的根， 或者其共轭石为#又)的根(也可能汍，石同为的根).证明(1)设么不是的极大+域.当久为的子域时，易见RA = R , Ha = Hr/此时A实际上就是实数 域/?上的矩阵，敁然命题成立.当么不是/^的子域吋，由A的重行列式等于A的复表示矩阵~的行列式，即||A|| = |Af.|的证明知#/1)实际上是久最小多项式，这样ty(A)与/4、的根一致，又由A满足交换条件，则A的特征多项式/(A)的平方等于重特征多 项式知结论成立.(II)设久是的极大子域，则易见仏为一个代数闭域，记为C3,此时ha = ra = c\推论3设A可中心化，则A的最小中心多项式％(/I)与弱特征多项式 /(Z)的根一致.即4的特征根均为％U)的根.当然，人们会问：四元数矩阵特征值理论的现状如何？因此作四点说明：1) 四元数矩阵的么特征值的存在性、表示以及Jordan标准形定理已经完满解决， 但是由于体上矩阵研究的停滞，并没宥引起人们的关注.盾来，由于谢邦杰的工 作，带动了一些中W年轻学者探索，他们在未知条件的情况下独立地进行研究， 其中以黄礼平的研究较为系统.本章节的闹述就取自他的文章.2) 除了右特征值外四元数矩阵特征值的研究，1985年R.M.W.Wood证明Y 阶四 元数矩阵的奇异特征值的存在性定理；2001年，黄礼平探究了二阶实四元数矩。