学 海 无 涯 6-4 系统的模拟图与框图 一、 三种运算器 系统模拟中应用的运算器有三种：加法器、数乘器(也称标量乘法器)和积分器三种运算器的表示符号及其时域、s 域 中输入与输出的关系，如表 6 - 3 中所示 二、 系统模拟的定义与系统的模拟图 在实验室中用三种运算器：加法器、数乘器和积分器来模拟给定系统的数学模型微分方程或系统函数 H(s)，称为 线性系统的模拟，简称系统模拟经过模拟而得到的系统称为模拟系统 从系统模拟的定义可看出，所谓系统模拟，仅是指数学意义上的模拟模拟的不是实际的系统，而是系统的数学模型 微分方程或系统函数 H(s)这就是说，不管是任何实际系统，只要它们的数学模型相同，则它们的模拟系统就一 样，就可以在实验室里用同一个模拟系统对系统的特性进行研究例如当系统参数或输入信号改变时，系统的响应如 何变化，系统的工作是否稳定，系统的性能指标能否满足要求，系统的频率响应如何变化，等等所有这些都可用实 验仪器直接进行观测，或在计算机的输出装置上直接显示出来模拟系统的输出信号，就是系统微分方程的解，称为 模拟解这不仅比直接求解系统的微分方程来得简便，而且便于确定系统的最佳参数和最佳工作状态。
这正是系统模 拟的重要实用意义和理论价值 在工程实际中，三种运算器：加法器、数乘器和积分器，都是用含有运算放大器的电路来实现，这在电路基础课程中 已进行了研究，不再赘述系统模拟一般都是用模拟计算机或数字计算机实现，也可在专用的实验设备上实现 由加法器、数乘器和积分器连接而成的图称为系统模拟图，简称模拟图模拟图与系统的微分方程(或系统函数 H(s)) 在描述系统特性方面是等价的 三、 常用的模拟图形式 常用的模拟图有四种形式：直接形式、并联形式、级联形式和混联形式它们都可以根据系统的微分方程或系统函数 H(s)画出在模拟计算机中，每一个积分器都备有专用的输入初始条件的引入端，当进行模拟实验时，每一个积分器都 要引入它应有的初始条件有了这样的理解，下面画系统模拟图时，为简明方便，先设系统的初始状态为零，即系统 为零状态此时，模拟系统的输出信号，就只是系统的零状态响应了 1 直接形式 设系统微分方程为二阶的，即,1,（6 - 15）,y (t) a y (t) a y(t) f (t) 10 为了画出其直接形式的模拟图，将式(6 - 15) 改写为,y (t) a y (t) a y(t) f (t) 10 根据此式即可画出时域直接形式的模拟图，如图 6-18(a)所示。
可见图中有两个积分器(因为微分方程是二阶的)，有两 个数乘器和一个加法器图中各变量之间的关系，一目了然，无需赘述学 海 无 涯,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,若将式(6 - 15)进行拉普拉斯变换即有,s2Y (s) a sY (s) a Y (s) F (s) 10,（6- 16）,或,s2Y (s) a sY (s) a Y (s) F (s) 10,（6- 17）,根据此式即可画出 s 域直接形式的模拟图，如图 6 18 (b)所示a1,,a0,,,,,,,y (t)y (t) ,y(t),,,,,,,,,,,,,,,,a1,,a0,,,,,,,1,s,,1,s,F(s),s2Y (s),sY()s,Y (s),(a)(b) 图 6 - 18 将图 6 18 (a)和 (b)对照，可看出两者的结构完全相同，仅是两者的变量表示形式不同图(a)中是时域变量，图(b)中 则是 s 域变量，而且两者完全是对应的所以，为简便，以后就不必要将两种图都画出了，而只需画出二者之一即可 根据式(6 - 16)可求出系统函数为,,,,1010,2,Y (s)1,s2,H (s) ,,F (s)s2 a s a1 a s1 a s2,（6 - 18）,将式(6 - 18)与图 6 - 18(b)进行联系对比，不难看出，若系统函数 H(s)已知，则根据 H(s)直接画出 s 域直接形式模拟图的 方法也是一目了然的。
若系统的微分方程为如下的形式：,（6 - 19）,y (t) a y (t) a y(t) b f (t) b f (t) b f (t) 10210 则其系统函数 (这里取 m=n=2)为,学 海 无 涯,,1010,3,Y (s)b s2 b s bb b s1 b s2,H (s) , 210 210,F (s)s2 a s a1 a s1 a s2,（6 - 20）,为了画出与此微分方程或H(s)相对应的直接形式的模拟图，可引入中间变量x(t)，使之满足下式，即 x (t) a x (t) a x(t) f (t) 10 （6 - 21）,故有,x (t) a x (t) a x(t) f (t) 10,（6 - 22）,与此式相对应的模拟图如图 6-19(a)的下面部分所示 将式(6 - 21)分别相继乘以b0 , b1, b2 系数，即有,b x (t) a b x (t) a b x(t) b f (t) 010000,（6 - 23）,b x (t) a b x (t) a b x(t) b f (t) 111011,（6 - 24）,（6 - 25）,b x (t) a b x (t) a b x(t) b f (t) 212022 将式(6 - 24)求导一次，将式(6 - 25)求导两次，即有,b x (t) a b x (t) a b x(t) b f (t) 111011 b x (t) a b x (t) a b x(t) b f (t) 212022 此两式又可写为,b x (t) a b x (t) a b x (t) b f (t) 111011,（6 - 26）,（6 - 27）,b x (t) a b x (t) a b x (t) b f (t) 212022 将式(6 - 23)，式(6 - 26)，式(6 - 27)相加并归并同类项即得,b x (t) b x (t) b x(t) a b x (t) b x (t) b x(t) 2101210,（6 - 28）,a b x (t) b x (t) b x(t) b f (t) b f (t) b f (t) 0210210 将式(6 - 28)与式(6 - 19)比较，可看出必有,y(t) b x (t) b x (t) b x(t) 210,（6 - 29）,根据式(6 - 29)即可画出与之对应的模拟图，如图 6 19 (a)中的上面部分所示。
这样，就得到了与式(6 - 19)相对应的完 整的直接形式的模拟图，如图 6 19 (a)所示 与式(6 - 19)相对应的s 域直接形式的模拟图如图 6 19 (b)所示此图也可根据系统函数 H(s)的表示式(6 - 20)直接画出， 其步骤和方法一目了然，也无需赘述 从图 6 - 19 中看出，图中有两个积分器(因微分方程是二阶的)、两个加法器(因式(6 - 19)中等号左端和右端各有一个求 和式)和五个数乘器 推广若系统的微分方程为n 阶的，且设 m=n，即 yn (t) ayn1 (t) a y (t) a y(t) n110,学 海 无 涯,（6 30a）,b f m (t) bf m1 (t) b f (t) b f (t) mm110 则其系统函数为,,10,n1,Y (s)b sm bsm1 b s b,H (s) , mm110,F (s)sn asn1 a s a,（6 30b）,,1,0,n1,Y (s)b bs1 b s(m1) b sm,H (s) , mm110,F (s)1 as1 a s(n1) a sn,或 （6 30c）,,,,,,,,,,,b0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,仿照上面的结论，可以很容易地画出与上两式相对应的时域和 s 域直接形式的模 b2 b1,,,,f (t),y(t),x (t),x (t),x(t),a1 a0 (a),,,,,,,,,,b0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b1,,,,,,,b2,,,,F(s),s2 X (s),sX (s) a1,X (s),Y (s),,a0 (b) 图 6- 19 （a）时域，（b）s 域 拟图。
请读者自己画出 需要指出，直接形式的模拟图，只适用于 mn 的情况因当mn 时，就无法模拟了 2并联形式 设系统函数仍为式(6 - 20)，即,4,10,b s2 b s b,H (s) 210,s2 a s a,（6 31a）,学 海 无 涯 将式(6 - 31a)化成真分式并将余式 N0 (s) 展开成部分分式，即,,,,,2,2,2,1012,N0 (s)N0 (s),K1K2,H (s) b , b , b ,s2 a s a,(s p1 )(s p2 )s ps p,（6 31b）,式中 p1, p2 为 H(s)的单阶极点 K1, K2 为部分分式的待定系数，它们都是可以求得的根据式(6 - 31b)即可画出与之对应 的并联形式的模拟图，如图 6 - 20 所示 特例：若b2 =0，则图中最上面的支路即断开了 若系统函数 H(s)为 n 阶的，则与之对应的并联形式的模拟图，也可如法炮制请读者研究 并联模拟图的特点是，各子系统之间相互独立，互不干扰和影响1 s,,,,,,,K1,,,,,,,,,p1,,,,,,,,1 s,,,,,,,K2,,,,p2,,,,,,,,,,,b2,,,,,,F(s),Y (s),,图 6 - 20 并联模拟图也只适用于 mn 的情况。
3级联形式 设系统函数仍为式(6 - 20)，即,101212,b s2 b s bb (s z )(s z ),s z s z,H (s) 210 212 b2 12,s2 a s a(s p )(s p ),s p s p,（6 - 32）,,,,2,,,,,,,,,1 s,,,,,,,,1,z,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 s,,,,,,,,2,z,,,,,,,,,式中， p1, p2 为H(s)的单阶极点； z1 ， z2 为 H(s)的单阶零点它们都是可以求得的根据式(6 - 32)，即可画出与之对 应的级联形式的模拟图，如图 6 - 21 所示 11,,,,,,,,,,Y (s),F(s)b,,p1 p2 图 6 - 21 图 6-21 若系统函数H(s)为n 阶的，则与之对应的级联形式的模拟图，也可仿效画出 级联模拟图也只适用于 mn 的情况 4混联形式 例如，设,5,学 海 无 涯,,,,,,,,,,1,1,42, 5,2s 32s 31,H (s) , 4 ,s4 7s3 16s2 12ss(s 3)(s 2)2ss 3s 2(s 2)2,进而再改写成,,,,,,,,1,42, 5,H (s) 1 1 5s 3 ,,s4s 3s 2s2 4s 4,（6 - 33）,,,,,,,1 s,,,,4, 5,,,,,2,,,,F(s),,,,1 s,,,,,1,4,,,,,,1 s,,,3,,,,,3,,,,,,,,根据式(6 - 33)即可画出与之对应的混联形式的模拟图，如图 6 - 22 所示。
最后还要指出两点： 5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 s,,,,1,s,,,,,,,1 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Y (s),4 4 图 6 - 22 一个给定的微分方程或系统函数H(s)，与之对应的模拟图可以有无穷多种，上面仅给出了四种常用的形式同时也 要指出，实际模拟时，究竟应采用哪一种形式的模拟图为好，这要根据所研究问题的目的、需要和方便性而定每一 种形式的模拟图都有其工程应用背景 按照模拟图利用模拟计算机进行模拟实。