第三章：证明（一）,八年级 上 册,数,学,回顾与思考,直观是把“双刃剑”,直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗?,a,b,c,d,a,b,a,b,每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知项推断出的事项. 一般地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题，不正确的的命题称为假命题 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例,定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确 的规定,也就是给出它们的定义.,命题:判断一件事情的句子,叫做命题.,回顾与思考,知多少,公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理 的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).,本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.,知多少,平行线的判定,公理: 同位角相等,两直线平行. 1=2, ab.,判定定理1: 内错角相等,两直线平行. 1=2, ab.,判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. 1+2=1800 , ab.,公理: 两直线平行,同位角相等. ab, 1=2.,性质定理1: 两直线平行,内错角相等. ab, 1=2.,性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补. ab, 1+2=1800 .,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ABC中,A+B+C=1800.,A+B+C=1800的几种变形: A=1800 (B+C). B=1800 (A+C). C=1800 (A+B). A+B=1800-C. B+C=1800-A. A+C=1800-B.,这里的结论,以后可以直接运用.,关注三角形的外角,三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余.,ABC中: 1=2+3; 12,13.,这个结论以后可以直接运用.,证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论; (2)根据题意画出相应的图形; (3)根据题设和结论写出已知,求证; (4)分析证明思路,写出证明过程.,胜者的“钥匙”,“行家”看“门道”,如图：1是ABC的一个外角, 1与图中的 其它角有什么关系?,1+4=1800 ; 12; 13; 1=2+3.,证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理), 1+4=1800(平角的意义), 1= 2+3.(等量代换). 12,13(和大于部分).,能证明你的结论吗?,用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,内涵与外延,在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论. 推论可以当作定理使用.,三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,“行家”看“门道”,例1 已知:如图,在ABC中,AD平分外角 EAC,B= C. 求证:ADBC.,证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ab(内错角相等,两直线平行).,B=C (已知),DAC=C(等量代换).,分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”., AD平分 EAC(已知)., C= EAC(等式性质).,DAC= EAC(角平分线的定义).,例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.,例2 已知:如图,在ABC中, 1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: 12.,证明: 1是ABC的一个外角(已知),把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法., 13(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角).,3是CDE的一个外角 (外角定义).,32(三角形的一个外角大于任 何一个和 它不相邻的内角)., 12(不等式的性质).,“行家”看“门道”,我能行,已知:如图所示,在ABC中,外角DCA=100, A=45. 求：B和ACB的大小.,解: DCA是ABC的一个外角(已知),DCA=100(已知), B=100-45=55.(三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和).,又 DCA+BCA=180(平角意义)., ACB=80(等式的性质).,A=45(已知),你认识外角吗?,已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:A+B+C+D+E的度数.,解:1是BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解., 1=B+D(三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和), 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),又A+1+2=180(三角形内角和定理),又 2是EHC的一个外角(外角的意义), A+B+C+D+E =180(等式性质),你认识外角吗?,证明(1): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角)., DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角)., BDCA (不等式的性质)., DEC是ABE的一个外角 (外角意义),已知: 如图所示. 求证: (1)BDCA; (2) BDC=A+B+C.,你认识外角吗?,已知: 如图所示. 求证: (1)BDCA; (2) BDC=A+B+C.,证明(2): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)., DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和)., BDC=A+B+C (等式的性质)., DEC是ABE的一个外角 (外角意义),回味无穷,理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.ABC中, A+B+C=1800. 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 关注三角形的外角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. 你准备如何提高证明命题的能力呢?,1.如图：将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的线段最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段AE，DE，EF，BF，CF把四个顶点连接起来） .,已知图中DAE=ADE=300，AEF=BFE=1200 . 你能证明此时的ABEF吗？.,证明：DAB=900(正方形性质) ，DAE=300(已知)， BAE=600(等式性质). AEF=1200(已知)， BAE+AEF=1800(等式性质) . ABEF(同旁内角相等，两直线平行).,“行家”看“门道”,2+4=1800 ( 两直线平行，同旁内角互补),2.已知：如图，直线 a,b被 直线c所截，ab. 求证：1+2=1800.,证明1: ab(已知),2=3 (两直线平行，内错角相等),又1+3= 1800 (平角意义),1+2= 1800 (等量代换),证明2: ab(已知),1=4 ( 对顶角相等),1+2= 1800 (等量代换).,“行家”看“门道”,3.已知:如图，1+2=1800. 求证: 3=4.,分析:要证明3=4，只要证明CDEF ；而由1+2=1800，可得1+5=1800.从而可得CDEF,证明: 1+2=1800 (已知) ，,5=2(对顶角相等)，,1+5=1800 (等量代换)., CDEF (同旁内角互补，两直线平行).,3=4(两直线平行，同位角相等).,“行家”看“门道”,知识的升华,作业：复习题,再见！,。